2023年東大 理科 第4問 その1

座標空間内の4点O(0, 0, 0), A(2, 0, 0), B(1, 1, 1), C(1, 2, 3)を考える。

(1) を満たす点Pの座標を求めよ。

(2) 点Pから直線ABに垂線を下ろし、その垂線と直線ABの交点をHとする。をとを用いて表せ。

(3) 点Qをにより定め、Qを中心とする半径の球面をを考える。が三角形OHBと共有点を持つようなの範囲を求めよ。ただし三角形OHBは3点O, H, Bを含む平面内にあり、周とその内部からなるものとする。

小問(1)の解答例

点Pの座標をとします。

より、
\begin{equation}
2x = 0 \tag{1}
\end{equation}です。
より、
\begin{equation}
x +y +z = 0 \tag{2}
\end{equation}です。
より、
\begin{equation}
x +2y +3z = 1 \tag{3}
\end{equation}です。

式(1)より
\begin{equation}
x = 0
\end{equation}です。式(2), (3)に代入すると
\begin{eqnarray}
y +z &=& 0 \\
2y +3z &=& 1
\end{eqnarray}です。これを解いて
\begin{eqnarray}
y &=& -1 \\
z &=& 1
\end{eqnarray}を得ます。

よって、求める座標は
\begin{equation}
(x,y,z) = (0,-1,1)
\end{equation}です。

小問(2)の解答例

直線AB上の点Hは、実数を用いて
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{PH}} = (1 -s) \, \overrightarrow{\mathrm{P A}} +s \, \overrightarrow{\mathrm{PB}} \tag{4}
\end{equation}と表すことができます。
PH⊥ABつまり
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{PH}} \cdot \left( \overrightarrow{\mathrm{PB}} -\overrightarrow{\mathrm{P A}} \right) = 0
\end{equation}なので、
\begin{equation}
(s -1) \, \left| \overrightarrow{\mathrm{P A}} \right|^2 +(1 -2s) \, \overrightarrow{\mathrm{P A}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}} +s \, \left| \overrightarrow{\mathrm{PB}} \right|^2 = 0 \tag{5}
\end{equation}が成り立ちます。

さて、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{PA}} &=& (-2,-1,1) \\
\overrightarrow{\mathrm{PB}} &=& (-1,-2,0)
\end{eqnarray}より、
\begin{eqnarray}
\left| \overrightarrow{\mathrm{PA}} \right|^2 &=& 6 \\
\left| \overrightarrow{\mathrm{PB}} \right|^2 &=& 5 \\
\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}} &=& 4
\end{eqnarray}です。これを式(5)に代入すると、
\begin{equation}
6(s -1) +4(1 -2s) +5s = 0
\end{equation}となります。整理して、
\begin{eqnarray}
3s -2 &=& 0 \\
s &=& \frac{2}{3}
\end{eqnarray}を得ます。式(4)に返すと
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{PH}} = \frac{1}{3} \, \overrightarrow{\mathrm{P A}} +\frac{2}{3} \, \overrightarrow{\mathrm{PB}} \tag{4}
\end{equation}となります。

よって
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OH}} -\overrightarrow{\mathrm{OP}} &=& \frac{1}{3} \, \left( \overrightarrow{\mathrm{OA}} -\overrightarrow{\mathrm{OP}} \right) +\frac{2}{3} \, \left( \overrightarrow{\mathrm{OB}} -\overrightarrow{\mathrm{OP}} \right) \\
\therefore \quad \overrightarrow{\mathrm{OH}} &=& \frac{1}{3} \, \overrightarrow{\mathrm{OA}} +\frac{2}{3} \, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \tag{5}
\end{eqnarray}となります。

小問(3)の解答例

2023年東大 理科 第4問 その2 - 数式で独楽する

解説

小問(1)は単なる連立方程式です。
小問(2)は点Hを点P基準で表現していますが、PH⊥ABを使える形とするためです。いったん点P基準で表現できれば、基準をどこにしようと同じ形になります。