2023年阪大理系第4問 - 数式で独楽する

$a,b$ を $a^2 +b^2 > 1$ かつ $b \ne 0$ をみたす実数とする。座標空間の点A $(a,0,b)$ と点P $(x,y,0)$ をとる。点O(0, 0, 0)を通り直線APと垂直な平面を $\alpha$ とし、平面 $\alpha$ と直線APとの交点をQとする。
(1) $\left( \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}} \right)^2 = \left| \overrightarrow{\mathrm{AP}} \right|^2 \left| \overrightarrow{\mathrm{AQ}} \right|^2$ が成り立つことを示せ。
(2) $\left| \overrightarrow{\mathrm{OQ}} \right| = 1$ をみたすように点P $(x,y,0)$ が $xy$ 平面を動くとき、点Pの軌跡を求めよ。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
解説

小問(1)の解答例

OQ⊥APなので、
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}} = \pm \left| \overrightarrow{\mathrm{AP}} \right| \left| \overrightarrow{\mathrm{AQ}} \right|
\end{equation}です。
よって
\begin{equation}
\left( \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}} \right)^2 = \left| \overrightarrow{\mathrm{AP}} \right|^2 \left| \overrightarrow{\mathrm{AQ}} \right|^2
\end{equation}が成り立ちます。

小問(2)の解答例

\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AO}} &=& (-a, \ 0, \ -b) \\
\overrightarrow{\mathrm{AP}} &=& (x -a, \ y, \ -b)
\end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}} &=& -a(x -a) +b^2 \tag{1} \\
\left| \overrightarrow{\mathrm{AQ}} \right|^2 &=& \mathrm{AO}^2 -\mathrm{OQ}^2 \\
&=& a^2 +b^2 -1 \tag{2} \\
\left| \overrightarrow{\mathrm{AP}} \right|^2
&=& (x -a)^2 +y^2 +b^2 \tag{3}
\end{eqnarray}です。

式(1)～(3)と小問(1)の結果により、
\begin{equation}
\left \{ -a(x -a) +b^2 \right \} = (a^2 +b^2 -1) \left \{ (x -a)^2 +y^2 +b^2 \right \}
\end{equation}が成り立ちます。
整理します。
\begin{eqnarray}
&& a^2 (x -a)^2 -2ab^2 (x -a) +b^4 \\
&& = (a^2 +b^2 -1)(x -a)^2 +(a^2 +b^2 -1) y^2 +(a^2 +b^2 -1) b^2
\end{eqnarray}\begin{equation}
(b^2 -1)(x -a)^2 +2ab^2 (x -a) +(a^2 +b^2 -1) y^2 +(a^2 -1) b^2 = 0 \tag{4}
\end{equation}

(i) $b = \pm 1$ の場合
\begin{equation}
2a(x -a) +ay^2 +a^2 -1 = 0
\end{equation}軌跡は放物線になります。

(ii) $b \ne \pm 1$ の場合
\begin{eqnarray}
&& (b^2 -1) \left( x -a +\frac{ab^2}{b^2 -1} \right) +(a^2 +b^2 -1)y^2 \\
&&= \frac{ab^4}{b^2 -1} -(a^2 -1)b^2 \\
&& \frac{a^2 b^4 -a^2 b^4 +a^2 b^2 +b^4 -b^2}{b^2 -1} \\
&& \frac{b^2 (a^2 +b^2 -1)}{b^2 -1}
\end{eqnarray}よって
\begin{equation}
\left( x -a +\frac{ab^2}{b^2 -1} \right) +\frac{a^2 +b^2 -1}{b^2 -1} \, y^2 = \frac{b^2 (a^2 +b^2 -1)}{(b^2 -1)^2}
\end{equation}となります。軌跡は