2000年前期京大理系第1問(文系第1問)別解

円に内接する四角形ABPCは次の条件を満たすとするかも
(イ) 三角形ABCは正三角形である。
(ロ) APとBCの交点は線分BCを $p:1-p \ (0 < p < 1)$ の比に内分する。
このとき、ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ を $\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \ \overrightarrow{\mathrm{AC}}, \ p$ を用いて表せ。

解答例
解説

解答例

AB=BC=CA=1としても一般性を失いません。また、条件(イ)により、
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} = \mathrm{AB \cdot AC} \cos 60^\circ = \frac{1}{2}
\end{equation}です。
APとBCの交点Dについて、条件(ロ)により、
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{AD}} = (1 -p) \, \overrightarrow{\mathrm{AB}} +p \, \overrightarrow{\mathrm{AC}} \tag{1}
\end{equation}と表すことができます。
これより、
\begin{eqnarray}
\left| \overrightarrow{\mathrm{AD}} \right|^2 &=& (1 -p)^2 +p(1 -p) +p^2 \\
&=& 1 -2p +p^2 +p -p^2 +p^2 \\
&=& p^2 -p +1 \\
\mathrm{AD} &=& \sqrt{p^2 -p +1} \tag{2}
\end{eqnarray}を得ます。

方べきの定理により、
方べきの定理 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
\mathrm{PD} &=& \mathrm{\frac{BD \cdot CD}{AD}} \\
&=& \frac{p(1 -p)}{\sqrt{p^2 -p +1}} \tag{3}
\end{eqnarray}となります。
式(2), (3)より
\begin{equation}
\mathrm{PD} = \frac{p(1 -p)}{p^2 -p +1} \, \mathrm{AD}
\end{equation}なので、
\begin{eqnarray}
\mathrm{AP} &=& \mathrm{AD +PD} \\
&=& \left( 1 +\frac{p -p^2}{p^2 -p +1} \right) \, \mathrm{AD} \\
&=& \frac{1}{p^2 -p +1} \, \mathrm{AD} \tag{4}
\end{eqnarray}を得ます。

よって、式(1), (4)をまとめ、
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \frac{(1 -p) \, \overrightarrow{\mathrm{AB}} +p \, \overrightarrow{\mathrm{AC}}}{p^2 -p +1}
\end{equation}となります。