一辺の長さが
である正十二面体の体積
\begin{equation}
V = \frac{15 +7\sqrt{5}}{4} \, a^3
\end{equation}
正十二面体の体積を求めてみます。
直接求める術をここの主は思い当たりません。工夫して求めていきます。
中心と各面で分割すると、正五角錐が12個できます。
正五角錐の底面は正五角形なので、底面積は容易に出すことができます。
高さが分かれば体積を求めることができます。
高さを出すのも工夫が必要です。
最も遠い2面の重心を北極と南極に見立て、赤道面で切断します。
赤道面は、正五角形隣り合うの2辺の中点を結ぶ線分を通過します。
断面は、正十角形です。
一辺の長さは対角線の長さの半分です。
正五角形の一辺の長さと対角線の長さは黄金比なので、正十角形の一辺の長さはです。
正五角形の対角線 - 数式で独楽する
また、正十角形は頂角36°の二等辺三角形10個に分割できます。
底辺と等辺の比は黄金比なので、
\begin{eqnarray}
r &=& \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{5} +1}{2} \right)^2 \, a \\
&=& \frac{3 +\sqrt{5}}{4} \, a
\end{eqnarray}です。
黄金比 - 数式で独楽する
三角比18ºと72º - 数式で独楽する
分割してできた正五角錐はこの図のような感じです。
先ほどのは側面の三角形の中線に相当します。
正十二面体の中心から面に垂線を下ろすと、足は面の重心と一致します。
辺の中点と面の重心の距離は
\begin{equation}
\frac{a}{2} \tan 54^\circ = \frac{\sqrt{25 +10\sqrt{5} \ }}{10} \, a
\end{equation}です。
三角比36ºと54º - 数式で独楽する
三角錐の高さは、
\begin{eqnarray}
h^2 &=& \left( \frac{3 +\sqrt{5}}{4} \right)^2 a^2 -\frac{25 +10\sqrt{5}}{100} \, a^2 \\
&=& \left( \frac{14 +6\sqrt{5}}{16} -\frac{25 +10\sqrt{5}}{100} \right) a^2 \\
&=& \left( \frac{7 +3\sqrt{5}}{8} -\frac{5 +2\sqrt{5}}{20} \right) a^2 \\
&=& \frac{25 +11\sqrt{5}}{40} \, a^2
\end{eqnarray}となります。
三平方の定理 - 数式で独楽する
面の面積は
\begin{equation}
S = \frac{\sqrt{25 +10\sqrt{5} \ }}{4} \, a^2
\end{equation}です。
正五角形の面積 - 数式で独楽する
よって、正十二面体の体積は、
\begin{eqnarray}
V &=& 12 \cdot \frac{1}{3} \, Sh \\
&=& 4 \frac{\sqrt{25 +10\sqrt{5} \ }}{4} \sqrt{\frac{25 +11\sqrt{5}}{40}} \, a^3 \\
&=& \sqrt{\frac{ \left( 5 +2\sqrt{5} \right) \left( 25 +11\sqrt{5} \right) }{8}} \, a^3 \\
&=& \sqrt{\frac{235 +105\sqrt{5}}{8}} \, a^3 \\
&=& \frac{1}{4} \, \sqrt{470 +210\sqrt{5} \ } \, a^3 \\
&=& \frac{1}{4} \, \sqrt{470 +2\sqrt{55125} \ } \, a^3 \\
&=& \frac{1}{4} \, \left( \sqrt{225} +\sqrt{245} \right) \, a^3 \\
&=& \frac{15 +7\sqrt{5}}{4} \, a^3
\end{eqnarray}となります。*1
*1:\begin{eqnarray} 55125 &=& 3^2 \times 5^3 \times 7^2 \\ 55125 &=& 225 \times 245 \\ 470 &=& 225 + 245 \end{eqnarray}です。二重根号が外せる形になっています。 二重根号 - 数式で独楽する
