を2以上の整数とする。
それぞれA, A, Bと書かれた3枚のカードから無作為に1枚抜き出し、カードをもとに戻す試行を考える。この試行を
のとき、文字列AAAABAやABBBAAやABBABBやBBBAAAなどは不可で、文字列BABAABやBABABAなどは可である。作った文字列が可でかつ右端の2文字がAAである確率を
、作った文字列が可でかつ右端の2文字がBAである確率を
、作った文字列が可でかつ右端の文字がBである確率を
とそれぞれおく。
小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
小問(3)の解答例
小問(4)の解答例
(i) とします。
式(7)は次のようになります。
\begin{equation}
3p_n +2q_n = 3 \left( \frac{2}{3} \right)^n \tag{9}
\end{equation}
式(8)は次のようになります。
\begin{eqnarray}
-i(p_n -q_n) &=& \frac{2}{9} \left( -\frac{1 +i}{3} \right)^{n -2} \\
p_n -q_n &=& \frac{2i}{9} \left( -\frac{1 +i}{3} \right)^{n -2} \tag{10}
\end{eqnarray}
式(9), (10)より
\begin{equation}
p_n = \frac{1}{5} \left \{ 3 \left( \frac{2}{3} \right)^n +\frac{4i}{9} \left( -\frac{1 +i}{3} \right)^{n -2} \right \} \tag{11}
\end{equation}を得ますが、これが実数となる必要があります。
\begin{equation}
\arg (1 +i) = \frac{\pi}{4}
\end{equation}なので、式(11)が実数となるのは
\begin{equation}
n -2 = 2, 6, 10, \cdots = 4m -2
\end{equation}つまり
\begin{equation}
n = 4m
\end{equation}となる必要があります。
なお、は正の整数です。
(ii) (
は正の整数)のときを考えます。
まず式(4)～(6)より、
\begin{eqnarray}
p_{n +1} -iq_{n +1} -(1 -i)r_{n +1} &=& \frac{2}{3} \, q_n +\frac{2i}{3} \, r_n -\frac{1 -i}{3}\, p_n -\frac{1 -i}{3} \, q_n \\
&=& -\frac{1 -i}{3} \, p_n +\frac{1 +i}{3} \, q_n -\frac{2i}{3} \, r_n \\
&=& -\frac{1 -i}{3} \left \{ p_n -iq_n -(1 -i)r_n \right \}
\end{eqnarray}となります。
なお、
\begin{eqnarray}
\frac{1 +i}{1 -i} &=& \frac{(1 +i)^2}{2} &=& i \\
\frac{2i}{1 -i} &=& i(1 +i) &=& -1 +i
\end{eqnarray}です。
式(1)～(3)も合わせ、
\begin{eqnarray}
p_n -iq_n -(1 -i)r_n &=& -\frac{1 -i}{3} \left \{ p_{n -1} -iq_{n -1} -(1 -i)r_{n -1} \right \} \\
& \vdots & \\
&=& \left( -\frac{1 -i}{3} \right)^{n -2} \left \{ p_2 -iq_2 -(1 -i)r_2 \right \} \\
&=& \frac{2}{9} \left( -\frac{1 -i}{3} \right)^{n -2} \tag{12}
\end{eqnarray}を得ます。
式(8), (12)より、
\begin{equation}
p_n -r_n = \frac{1}{9} \left \{ \left( -\frac{1 +i}{3} \right)^{n -2} +\left( -\frac{1 -i}{3} \right)^{n -2} \right \}
\end{equation}を得ます。
したがって、
\begin{eqnarray}
p_{4m} -r_{4m} &=& \frac{1}{9} \left \{ \left( -\frac{1 +i}{3} \right)^{4m -2} +\left( -\frac{1 -i}{3} \right)^{4m -2} \right \} \\
&=& \frac{1}{9} \left \{ \left( \frac{2i}{9} \right)^{2m -1} +\left( -\frac{2i}{9} \right)^{2m -1} \right \} \\
&=& \frac{1}{9} \left( \frac{2}{9} \right)^{2m -1} \{ i^{2m -1} +(-i)^{2m - 1} \} \\
&=& \frac{1}{9} \left( \frac{2}{9} \right)^{2m -1} (-1)^m (-i +i) \\
&=& 0
\end{eqnarray}となります。
(i), (ii)より、求めるの必要十分条件は、
\begin{equation}
n = 4m
\end{equation}です。は正の整数です。
