一辺の長さが
である正二十面体の体積
\begin{equation}
V = \frac{15 +5\sqrt{5}}{12} \, a^3
\end{equation}
正二十面体の体積を求めてみます。
直接求める術をここの主は思い当たりません。工夫して求めていきます。
中心と各面で分割すると、正三角錐が20個できます。
正三角錐の底面は正三角形なので、底面積は容易に出すことができます。
高さが分かれば体積を求めることができます。
高さを出すのも工夫が必要です。
最も遠い2頂点を北極と南極に見立て、赤道面で切断します。
赤道面は、正三角形の2辺の中点を結ぶ線分を通過します。
断面は、正十角形です。
一辺の長さはです。
頂角36°の二等辺三角形10個に分割できます。
底辺と等辺の比は黄金比なので、
\begin{equation}
r = \frac{\sqrt{5} +1}{4} \, a
\end{equation}です。
黄金比 - 数式で独楽する
三角比18ºと72º - 数式で独楽する
分割してできた正三角錐はこの図のような感じです。
先ほどのは図のHDに相当します。
正二十面体の中心から面に垂線を下ろすと、足は面の重心と一致します。
辺の中点と面の重心の距離は
\begin{equation}
\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \, a = \frac{\sqrt{3}}{6} \, a
\end{equation}です。
三角錐の高さは、
\begin{eqnarray}
h &=& \sqrt{\left( \frac{\sqrt{5} +1}{4} \, a \right)^2 -\left( \frac{\sqrt{3}}{6} \, a \right)^2} \\
&=& \sqrt{ \frac{6 +2\sqrt{5}}{16} -\frac{1}{12}} \, a \\
&=& \sqrt{\frac{14 +6\sqrt{5}}{48}} \, a \\
&=& \sqrt{\frac{(3 +\sqrt{5})^2}{48}} \, a \\
&=& \frac{3 +\sqrt{5}}{4\sqrt{3}} \, a
\end{eqnarray}となります。
三平方の定理 - 数式で独楽する
面の面積は
\begin{equation}
S = \frac{\sqrt{3}}{4} \, a^2
\end{equation}です。
正三角形の面積 - 数式で独楽する
よって、正二十面体の体積は、
\begin{eqnarray}
V &=& 20 \cdot \frac{1}{3} \, Sh \\
&=& \frac{20}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \, a^2 \cdot \frac{3 +\sqrt{5}}{4\sqrt{3}} \, a \\
&=& \frac{15 +5\sqrt{5}}{12} \, a^3
\end{eqnarray}となります。
