「メネラウスの定理の逆」
三角形ABCについて、
CB上の点P、CA上の点Q、AB上の点Rが、\begin{equation}
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \frac{\mathrm{C Q}}{\mathrm{QA}}\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1
\end{equation}を満たす場合、3点P, Q, Rは同一直線上にある。
メネラウスの定理 - 数式で独楽する
メネラウスの定理は、上の記事で紹介しましたが、その逆*1は成り立つのか？ という話です。
では、証明にいきます。
まず、与えられた条件により、3点P, Q, Rは、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \frac{\mathrm{C Q}}{\mathrm{QA}}\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1 \tag{1}
\end{equation}を満たしています。
次に直線PQを引き、ABとの交点をR'とします。
メネラウスの定理により、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \frac{\mathrm{C Q}}{\mathrm{QA}}\frac{\mathrm{AR'}}{\mathrm{R'B}} =1 \tag{2}
\end{equation}が成り立ちます。
式(1), (2)を比較すると、
\begin{equation}
\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} = \frac{\mathrm{AR'}}{\mathrm{R'B}}
\end{equation}となります。
点RもR'もAB上にあるので、点Rと点R'は一致します。
3点P, Q, Rは同一直線上にあるという結論を得ることができます。
*1:命題「ならば
」に対し、命題「
ならば
」を、「逆」といいます。
