平面内で
軸上の点Pを中心とする円
が2つの曲線
\begin{eqnarray}
C_1 : & \ y &=& \sqrt{3} \log (1+x) \\
C_2 : & \ y &=& \sqrt{3} \log (1 -x)
\end{eqnarray}と点A、点Bで接しているとする。さらに△PABはAとBがで囲まれた部分の面積を求めよ。ただし、2つの曲線がある点で接するとは、その点を共有し、さらにその点において共通の接線をもつことである。
前半
京大 2013年 前期 理系 第5問その1 - 数式で独楽する
では、曲線の式を
\begin{eqnarray}
C_1 : & \ y &=& f_1(x) &=& \sqrt{3} \log (1+x) \\
C_2 : & \ y &=& f_2(x) &=& \sqrt{3} \log (1 -x) \\
C : & \ y &=& f(x) &=& -\sqrt{16 -x^2} + \sqrt{3}(2 + \log{3})
\end{eqnarray}と求めました。
ここからは、曲線に囲まれた部分の面積を求めていくことになります。
図形が
\begin{eqnarray}
S &=& 2\int_0^2 \left \{ f(x) - f_1(x) \right \} dx \\
&=& 2\int_0^2 \left \{ -\sqrt{16 -x^2} + \sqrt{3}(2 + \log{3}) -\sqrt{3} \log (1+x) \right \} dx \tag{1}
\end{eqnarray}で求めることができます。
積分記号の中、第1項について、
\begin{equation}
x = 4\sin \theta \tag{2.1}
\end{equation}と置くと、
\begin{eqnarray}
\sqrt{16 - x^2} &=& 4\cos \theta \tag{2.2} \\
dx &=& 4\cos \theta \, d\theta \tag{2.3}
\end{eqnarray}となります。
また、
のとき、
のとき、
なので、積分の範囲
\begin{equation}
0 \leqq x \leqq 2
\end{equation}は
\begin{equation}
0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{6} \tag{2.4}
\end{equation}となります。*1
定積分の置換積分 - 数式で独楽する
よって、式(2.1)~(2.4)より、
\begin{eqnarray}
\int_0^2 \sqrt{16 -x^2} dx &=& 16\int_0^{\pi/6} \cos^2 \theta d\theta \\
&=& 8\int_0^{\pi/6} (\cos 2\theta +1) d \theta \\
&=& 8 \left[ \ \frac{\sin 2\theta}{2} + \theta \ \right]_0^{\pi/6} \\
&=& 8 \left( \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\pi}{6} \right) \\
&=& 2\sqrt{3} + \frac{4}{3} \, \pi \tag{2}
\end{eqnarray}を得ます。*2
積分記号の中、第3項については、
\begin{equation}
\log (1 + x) = t \tag{3.1}
\end{equation}と置くと、
\begin{eqnarray}
1 + x &=& e^t \tag{3.2} \\
dx &=& e^t \, dt \tag{3.3}
\end{eqnarray}となります。
また、
なので、積分の範囲は
\begin{equation}
0 \leqq t \leqq \log 3 \tag{3.4}
\end{equation}となります。*3
よって、式(3.1)~(3.4)より、
\begin{eqnarray}
\int_0^2 \log (1 + x) dx &=& \int_0^{\log 3} t \, e^t \, dt \\
&=& \biggl[ \ t \, e^t \ \biggr]_0^{\log 3} - \int_0^{\log 3} e^t \, dt \\
&=& 3 \log 3 -0 - \biggl[ \ e^t \ \biggr]_0^{\log 3} \\
&=& 3 \log 3 -(3-1) \\
&=& 3 \log 3 -2 \tag{3}
\end{eqnarray}を得ます。*4
式(1), (2), (3)より、求める面積は、
\begin{eqnarray}
S &=& 2 \left[ - \left( 2 \sqrt{3} + \frac{4}{3} \, \pi \right) + 2 \sqrt{3} (2 + \log 3) - \sqrt{3} (3 \log 3 -2) \right] \\
&=& \sqrt{3} (8 -2 \log 3) - \frac{8}{3} \, \pi
\end{eqnarray}となります。
後半は単なる積分の計算問題です。間違いのないようにしたいものです。
