サインとコサインはどちらかに合成することができます。
本稿ではサインに合成します。
\begin{equation}
a \cos \theta + b \sin \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin (\theta + \alpha) \qquad \left( \tan \alpha = \frac{a}{b} \right)
\end{equation}
証明は簡単です。
本稿では、
三角関数の合成 その2 - 数式で独楽する
とは異なるアプローチで見ていきます。
左辺のを徐(おもむろ)に
\begin{equation}
\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \, \cos \theta + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \, \sin \theta
\end{equation}とします。
ここで、
\begin{eqnarray}
\sin \alpha &=& \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\
\cos \alpha &=& \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}
\end{eqnarray}を満たす各$\alpha$を定めます。
なお、
\begin{equation}
\tan \alpha = \frac{a}{b}
\end{equation}です。
このとき、
\begin{equation}
\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \, \cos \theta + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \, \sin \theta
= \cos \theta \sin \alpha + \sin \theta \cos \alpha
\end{equation}となります。
式の右辺に加法定理を用いると、
加法定理・まとめ - 数式で独楽する
\begin{equation}
\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \, \cos \theta + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \, \sin \theta
= \sin (\theta +\alpha)
\end{equation}となります。
つまり、
\begin{equation}
a \cos \theta + b \sin \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin (\theta + \alpha) \qquad \left( \tan \alpha = \frac{a}{b} \right)
\end{equation}を得ます。
三角関数の合成は、本質的に加法定理と同じものだと分かります。
