本稿では、
\begin{eqnarray}
x &=& r \sin \theta \cos \phi \\
y &=& r \sin \theta \sin \phi \\
z &=& r \cos \theta \tag{1}
\end{eqnarray}で表される3次元の球座標系の発散について述べます。
直交座標系のベクトル成分の偏微分の和を球座標系のそれで表すことを目指しますが、
\begin{eqnarray}
\rho^2 &=& x^2 + y^2 \\
r^2 &=& z^2 + \rho^2
\end{eqnarray}として2次元極座標系の発散を2回用いると導くことができます。
2次元極座標系の発散 - 数式で独楽する
- 点(x,y,z)を含みz軸に直交する平面
- 点(x,y,z)とz軸を含む平面
に分けて考えていきます。
点を含み、
軸と直交する平面では、
\begin{eqnarray}
\frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} &=& \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} (\rho A_\rho) + \frac{1}{\rho} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} \\
&=& \frac{\partial A_\rho}{\partial \rho} + \frac{1}{\rho} \, A_\rho + \frac{1}{\rho} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} \tag{2}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
点と
軸を含む平面では、
\begin{eqnarray}
\frac{\partial A_z}{\partial z} + \frac{\partial A_\rho}{\partial \rho} &=& \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r A_r) + \frac{1}{r} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \\
&=& \frac{\partial A_r}{\partial r} + \frac{1}{r} \, A_r + \frac{1}{r} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \tag{3}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
式(2), (3)よりを消去すると、球座標系の発散を得ることができます。
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot \boldsymbol{A} &=& \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} \\
&=& \frac{\partial A_r}{\partial r} + \frac{1}{r} \, A_r + \frac{1}{r} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} + \frac{\sin \theta \, A_r + \cos \theta \, A_\theta}{r \sin \theta} + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} \\
&=& \frac{\partial A_r}{\partial r} + \frac{2}{r} \, A_r + \frac{1}{r} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} + \frac{\cos \theta \, A_\theta}{r \sin \theta} + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}
\end{eqnarray}
もう少し整理して、
\begin{equation}
\nabla \cdot \boldsymbol{A} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 A_r) + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin \theta \, A_\theta) + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}
\end{equation}を得ます。
