本稿では、
\begin{eqnarray}
x &=& r \cos \theta \\
y &=& r \sin \theta \tag{1}
\end{eqnarray}で表される2次元の極座標系の発散について述べます。
ベクトルの発散 - 数式で独楽する
極座標 - 数式で独楽する
偏微分を直交座標系から極座標系に変換し、なおかつベクトルの成分も変換していけば、導くことができます。
2次元極座標系の偏微分 - 数式で独楽する
2次元極座標系の偏微分~行列によるアプローチ - 数式で独楽する
2次元極座標系のベクトル - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot \boldsymbol{A} &=& \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} \\
&=& \frac{\partial r}{\partial x} \frac{\partial A_x}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial x} \frac{\partial A_x}{\partial \theta} + \frac{\partial r}{\partial y} \frac{\partial A_y}{\partial r} + \frac{\partial \theta}{\partial y} \frac{\partial A_y}{\partial \theta} \\
&=& \cos \theta \left( \frac{\partial A_r}{\partial r} \, \cos \theta - \frac{\partial A_\theta}{\partial r} \, \sin \theta \right) \\
&& - \frac{\sin \theta}{r} \left( \frac{\partial A_r}{\partial \theta } \, \cos \theta - A_r \sin \theta - \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \, \sin \theta - A_\theta \cos \theta \right) \\
&& + \sin \theta \left( \frac{\partial A_r}{\partial r} \, \sin \theta + \frac{\partial A_\theta}{\partial r} \, \cos \theta \right) \\
&& + \frac{\cos \theta}{r} \left( \frac{\partial A_r}{\partial \theta} \, \sin \theta + A_r \cos \theta + \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \, \cos \theta - A_\theta \sin \theta \right) \\
&=& \frac{\partial A_r}{\partial r} + \frac{1}{r} \, A_r + \frac{1}{r} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \\
&=& \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r A_r) + \frac{1}{r} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta}
\end{eqnarray}
