本稿では、
\begin{eqnarray}
x &=& r \sin \theta \cos \phi \\
y &=& r \sin \theta \sin \phi \\
z &=& r \cos \theta \tag{1}
\end{eqnarray}で表される3次元の球座標系の発散について述べます。
ここでは、ベクトルの内積のように導きます。
ベクトルの発散 - 数式で独楽する
極座標 - 数式で独楽する
球座標系のナブラとベクトルはそれぞれ
\begin{eqnarray}
\nabla &=& \boldsymbol{e}_r \, \frac{\partial}{\partial r} + \boldsymbol{e}_\theta \, \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} + \boldsymbol{e}_\phi \, \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi} \tag{2} \\
\boldsymbol{A} &=& A_r \,\boldsymbol{e}_r + A_\theta \, \boldsymbol{e}_\theta + A_\phi \, \boldsymbol{e}_\phi \tag{3}
\end{eqnarray}で表します。
これより、直接、内積を求めるようにしていきます。ただし、単位ベクトルの偏微分に注意して計算していきます。
2次元極座標系の単位ベクトル - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
\nabla \cdot \boldsymbol{A}&=& \left( \boldsymbol{e}_r \, \frac{\partial}{\partial r} + \boldsymbol{e}_\theta \, \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} + \boldsymbol{e}_\phi \, \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi} \right) \cdot (A_r \, \boldsymbol{e}_r + A_\theta \, \boldsymbol{e}_\theta + A_\phi \, \boldsymbol{e}_\phi \\
&=& \frac{\partial A_r}{\partial r} + \frac{2}{r} \, A_r + \frac{1}{r} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} + \frac{\cos \theta}{r \sin \theta} \, A_\theta + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}
\end{eqnarray}整理すると、
\begin{equation}
\nabla \cdot \boldsymbol{A} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} (r^2 A_r) + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}(\sin \theta \, A_\theta) + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}
\end{equation}を得ます。
省略した計算は次の通りです。
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{e}_r \cdot \frac{\partial}{\partial r} (A_r \, \boldsymbol{e}_r) &=& \boldsymbol{e}_r \cdot \frac{\partial A_r}{\partial r} \, \boldsymbol{e}_r + \boldsymbol{e}_r \cdot A_r \, \frac{\partial \boldsymbol{e}_r}{\partial r} = \frac{\partial A_r}{\partial r} \\
\boldsymbol{e}_r \cdot \frac{\partial}{\partial r} (A_\theta \, \boldsymbol{e}_\theta) &=& \boldsymbol{e}_r \cdot \frac{\partial A_\theta}{\partial r} \, \boldsymbol{e}_\theta + \boldsymbol{e}_r \cdot A_\theta \, \frac{\partial \boldsymbol{e}_\theta}{\partial r} = 0 \\
\boldsymbol{e}_r \cdot \frac{\partial}{\partial r} (A_\phi \, \boldsymbol{e}_\phi) &=& \boldsymbol{e}_r \cdot \frac{\partial A_\phi}{\partial r} \, \boldsymbol{e}_\phi + \boldsymbol{e}_r \cdot A_\phi \, \frac{\partial \boldsymbol{e}_\phi}{\partial r} = 0 \\
\boldsymbol{e}_\theta \cdot \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} (A_r \, \boldsymbol{e}_r) &=& \boldsymbol{e}_\theta \cdot \frac{1}{r} \frac{\partial A_r}{\partial \theta} \, \boldsymbol{e}_r + \boldsymbol{e}_\theta \cdot \frac{1}{r} \, A_r \, \frac{\partial \boldsymbol{e}_r}{\partial \theta} = \frac{1}{r} \, A_r \\
\boldsymbol{e}_\theta \cdot \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} (A_\theta \, \boldsymbol{e}_\theta) &=& \boldsymbol{e}_\theta \cdot \frac{1}{r} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \, \boldsymbol{e}_\theta + \boldsymbol{e}_\theta \cdot \frac{1}{r} \, A_\theta \, \frac{\partial \boldsymbol{e}_\theta}{\partial \theta} = \frac{1}{r} \frac{\partial A_\theta}{\partial \theta} \\
\boldsymbol{e}_\theta \cdot \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} (A_\phi \, \boldsymbol{e}_\phi) &=& \boldsymbol{e}_\theta \cdot \frac{1}{r} \frac{\partial A_\phi}{\partial \theta} \, \boldsymbol{e}_\phi + \boldsymbol{e}_\theta \cdot \frac{1}{r} \, A_\phi \, \frac{\partial \boldsymbol{e}_\phi}{\partial \theta} = 0 \\
\boldsymbol{e}_\phi \cdot \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi} (A_r \, \boldsymbol{e}_r) &=& \boldsymbol{e}_\phi \cdot \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial A_r}{\partial \phi} \, \boldsymbol{e}_r + \boldsymbol{e}_\phi \cdot \frac{1}{r \sin \theta} \, A_r \, \frac{\partial \boldsymbol{e}_r}{\partial \phi} = \frac{1}{r} \, A_r \\
\boldsymbol{e}_\phi \cdot \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi} (A_\theta \, \boldsymbol{e}_\theta) &=& \boldsymbol{e}_\phi \cdot \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial A_\theta}{\partial \phi} \, \boldsymbol{e}_\theta + \boldsymbol{e}_\phi \cdot \frac{1}{r \sin \theta} \, A_\theta \, \frac{\partial \boldsymbol{e}_\theta}{\partial \phi} = \frac{\cos \theta}{r \sin \theta} \, A_\theta \\
\boldsymbol{e}_\phi \cdot \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi} (A_\phi \, \boldsymbol{e}_\phi) &=& \boldsymbol{e}_\phi \cdot \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi} \, \boldsymbol{e}_\phi + \boldsymbol{e}_\phi \cdot \frac{1}{r \sin \theta} \, A_\phi \, \frac{\partial \boldsymbol{e}_\phi}{\partial \phi} = \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}
\end{eqnarray}
