\begin{equation}
r = \sqrt{x^2 +y^2 +z^2}
\end{equation}のとき
\begin{equation}
\nabla r = \frac{\boldsymbol{r}}{r}
\end{equation}
は、それぞれ直交座標系の
軸方向の単位ベクトルとします。
また、
\begin{eqnarray}
r &=& |\boldsymbol{r}| = \sqrt{x^2 +y^2 +z^2} \\
\boldsymbol{r} &=& x \, \boldsymbol{i} +y \, \boldsymbol{j} +z \, \boldsymbol{k}
\end{eqnarray}です。
\begin{eqnarray}
\frac{\partial r}{\partial x} &=& \frac{\partial}{\partial x} \sqrt{x^2 +y^2 +z^2} \\
&=& \frac{2x}{2\sqrt{x^2 +y^2 +z^2}} \\
&=& \frac{x}{r}
\end{eqnarray}です。同様に
\begin{eqnarray}
\frac{\partial r}{\partial y} &=& \frac{y}{r} \\
\frac{\partial r}{\partial z} &=& \frac{z}{r}
\end{eqnarray}です。
したがって、
\begin{eqnarray}
\nabla r &=& \frac{\partial r}{\partial x} \, \boldsymbol{i} +\frac{\partial r}{\partial y} \, \boldsymbol{j} +\frac{\partial r}{\partial z} \, \boldsymbol{k} \\
&=& \frac{x}{r} \, \boldsymbol{i} +\frac{y}{r} \, \boldsymbol{j} +\frac{z}{r} \, \boldsymbol{k} \\
&=& \frac{\boldsymbol{r}}{r}
\end{eqnarray}を得ます。
座標原点から質点に向かう方向の、単位ベクトルとなっています。
3次元の極座標系(球座標系)で考えると、勾配は
\begin{equation}
\nabla r = \boldsymbol{e}_r \, \frac{\partial r}{\partial r} + \boldsymbol{e}_\theta \, \frac{1}{r} \frac{\partial r}{\partial \theta} + \boldsymbol{e}_\phi \, \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial r}{\partial \phi} \\
\end{equation}です。はそれぞれ
が増える方向の単位ベクトルです。
3次元球座標系の勾配 ~ 行列的アプローチ - 数式で独楽する
今、は
には無関係なので
\begin{equation}
\nabla r = \boldsymbol{e}_r = \frac{\boldsymbol{r}}{r}
\end{equation}となります。やはり、座標原点から質点に向かう方向の単位ベクトルです。
