3次元球座標系の単位ベクトル

本稿では、
\begin{eqnarray}
x &=& r \sin \theta \cos \phi \\
y &=& r \sin \theta \sin \phi \\
z &=& r \cos \theta \tag{1}
\end{eqnarray}で表される3次元の球座標系$(r, \theta, \phi)$の単位ベクトルについて述べます。
極座標 - 数式で独楽する

球座標系の単位ベクトルを直交座標系の単位ベクトルで表す

• $r$が増えていく方向の単位ベクトルを$\boldsymbol{e}_r$
• $\theta$が増えていく方向の単位ベクトルを$\boldsymbol{e}_\theta$
• $\phi$が増えていく方向の単位ベクトルを$\boldsymbol{e}_\phi$

とします。

3次元の直交座標系の単位ベクトル
\begin{equation}
\boldsymbol{i} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) , \quad
\boldsymbol{j} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) , \quad
\boldsymbol{k} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)
\end{equation}との関係は、
\begin{eqnarray}
\rho^2 &=& x^2 + y^2 \\
r^2 &=& z^2 + \rho^2
\end{eqnarray}として2次元極座標系の単位ベクトルの導出を2回繰り返すと導くことができます。
2次元極座標系の単位ベクトル - 数式で独楽する

• 点(x,y,z)を含みz軸に直交する平面
• 点(x,y,z)とz軸を含む平面

に分けて考えていきます。

$\rho$が増えていく方向の単位ベクトルを$\boldsymbol{e}_\rho$とします。
点(x,y,z)を含み、z軸と直交する平面で
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{e}_\rho &=& \cos \phi \ \boldsymbol{i} + \sin \phi \ \boldsymbol{j} \\
\boldsymbol{e}_\phi &=& - \sin \phi \ \boldsymbol{i} + \cos \phi \ \boldsymbol{j} \tag{2.1}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
点(x,y,z)とz軸を含む平面では、
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{e}_r &=& \cos \theta \ \boldsymbol{k} + \sin \theta \ \boldsymbol{e}_\rho \\
\boldsymbol{e}_\theta &=& - \sin \theta \ \boldsymbol{k} + \cos \theta \ \boldsymbol{e}_\rho \tag{2.2}
\end{eqnarray}となります。
式(2.1), (2.2)よりe_ρを消去すると、球座標系の単位ベクトルを直交座標系の単位ベクトルで表すことができます。
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{e}_r &=& \sin \theta \cos \phi \, \boldsymbol{i} + \sin \theta \sin \phi \, \boldsymbol{j} + \cos \theta \, \boldsymbol{k} \\
\boldsymbol{e}_\theta &=& \cos \theta \cos \phi \, \boldsymbol{i} + \cos \theta \sin \phi \, \boldsymbol{j} - \sin \theta \, \boldsymbol{k} \\
\boldsymbol{e}_\phi &=& - \sin \phi \, \boldsymbol{i} + \cos \phi \, \boldsymbol{j} \tag{2}
\end{eqnarray}

直交座標系の単位ベクトルを球座標系の単位ベクトルで表す

式(2.1), (2.2)より、点(x,y,z)を含みz軸に直交する平面では、
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{i} &=& \cos \phi \ \boldsymbol{e}_\rho - \sin \phi \ \boldsymbol{e}_\phi \\
\boldsymbol{j} &=& \sin \phi \ \boldsymbol{e}_\rho + \cos \phi \ \boldsymbol{e}_\phi \tag{3.1}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
点(x,y,z)とz軸を含む平面では、
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{k} &=& \cos \theta \ \boldsymbol{e}_r - \sin \theta \ \boldsymbol{e}_\theta \\
\boldsymbol{e}_\rho &=& \sin \theta \ \boldsymbol{e}_r + \cos \theta \ \boldsymbol{e}_\theta \tag{3.2}
\end{eqnarray}となります。
式(3.1), (3.2)より、直交座標系の単位ベクトルを球座標系の単位ベクトルで表すことができます。
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{i} &=& \sin \theta \cos \phi \ \boldsymbol{e}_r + \cos \theta \cos \phi \ \boldsymbol{e}_\theta - \sin \phi \ \boldsymbol{e}_\phi \\
\boldsymbol{j} &=& \sin \theta \sin \phi \ \boldsymbol{e}_r + \cos \theta \sin \phi \ \boldsymbol{e}_\theta + \cos \phi \ \boldsymbol{e}_\phi \\
\boldsymbol{k} &=& \cos \theta \ \boldsymbol{e}_r - \sin \theta \ \boldsymbol{e}_\theta \tag{3}
\end{eqnarray}

単位ベクトルは、位置ベクトル
\begin{equation}
\boldsymbol{r} = r(\sin \theta \cos \phi \, \boldsymbol{i} + \sin \theta \sin \phi \, \boldsymbol{j} + \cos \theta \, \boldsymbol{k})
\end{equation}を用いて、
\begin{equation}
\boldsymbol{e}_r = \cfrac{\ \cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial r} \ }{\left| \cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial r} \right|}, \quad
\boldsymbol{e}_\theta = \cfrac{\ \cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \theta} \ }{\left| \cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \theta} \right|}, \quad
\boldsymbol{e}_\phi = \cfrac{\ \cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \phi} \ }{\left| \cfrac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \phi} \right|}
\end{equation}として求めることができます。