本稿では、
\begin{eqnarray}
x &=& r \sin \theta \cos \phi \\
y &=& r \sin \theta \sin \phi \\
z &=& r \cos \theta \tag{1}
\end{eqnarray}で表される3次元の球座標系の勾配について述べます。
ここでは、
3次元球座標系の勾配 - 数式で独楽する
とは異なるアプローチをしていきます。
極座標 - 数式で独楽する
スカラーの勾配 - 数式で独楽する
行列
\begin{equation}
R = \left( \begin{array}{ccc} \sin \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & \cos \theta \\
\cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi & - \sin \theta \\
- \sin \phi & \cos \phi & 0 \end{array} \right)
\end{equation}を用いると、単位ベクトルと偏微分演算子について
\begin{eqnarray}
\left( \begin{array}{c} \boldsymbol{e}_r \\ \boldsymbol{e}_\theta \\ \boldsymbol{e}_\phi \end{array} \right)
&=& R \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{i} \\ \boldsymbol{j} \\ \boldsymbol{k} \end{array} \right) \tag{2}\\
\left( \begin{array}{c} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial z} \end{array} \right)
&=& R^{-1} \left( \begin{array}{c} \frac{\partial u}{\partial r} \\ \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \\ \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial u}{\partial \phi} \end{array} \right) \tag{3}
\end{eqnarray}となります。
式(2)の行と列を入れ替えます。「転置」といいます。
\begin{equation}
( \boldsymbol{e}_r \ \boldsymbol{e}_\theta \ \boldsymbol{e}_\phi) = (\boldsymbol{i} \ \ \boldsymbol{j} \ \ \boldsymbol{k} ) \, {}^t \! R \tag{4}
\end{equation}転置を行うと、積の順序は逆になります。
行列は
\begin{equation}
{}^t \! R = R^{-1}
\end{equation}を満たすので、式(4)の両辺に右からを掛けると、
\begin{equation}
(\boldsymbol{i} \ \ \boldsymbol{j} \ \ \boldsymbol{k} ) = (\boldsymbol{e}_r \ \boldsymbol{e}_\theta \ \boldsymbol{e}_\phi ) R \tag{5}
\end{equation}を得ます。
式(3), (5)より、球座標系における勾配を得ます。
\begin{eqnarray}
\nabla u &=& \frac{\partial u}{\partial x} \, \boldsymbol{i} + \frac{\partial u}{\partial y} \, \boldsymbol{j} + \frac{\partial u}{\partial z} \, \boldsymbol{k} \\
&=& (\boldsymbol{i} \ \ \boldsymbol{j} \ \ \boldsymbol{k}) \left( \begin{array}{c} \frac{\partial u}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial z} \end{array} \right) \\
&=& (\boldsymbol{e}_r \ \boldsymbol{e}_\theta \ \boldsymbol{e}_\phi) R R^{-1} \left( \begin{array}{c} \frac{\partial u}{\partial r} \\ \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \\ \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial u}{\partial \phi}\end{array} \right) \\
&=& (\boldsymbol{e}_r \ \boldsymbol{e}_\theta \ \boldsymbol{e}_\phi) \left( \begin{array}{c} \frac{\partial u}{\partial r} \\ \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \\ \frac{1}{r \sin
\theta} \frac{\partial u}{\partial z} \end{array} \right) \\
&=&\frac{\partial u}{\partial r} \ \boldsymbol{e}_r + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} \ \boldsymbol{e}_\theta + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial u}{\partial \phi} \ \boldsymbol{e}_\phi
\end{eqnarray}
これより、極座標系のナブラは
\begin{eqnarray}
\nabla &=& \boldsymbol{i} \, \frac{\partial}{\partial x} + \boldsymbol{j} \, \frac{\partial}{\partial y} + \boldsymbol{k} \, \frac{\partial}{\partial z} \\
&=& (\boldsymbol{i} \ \ \boldsymbol{j} \ \ \boldsymbol{k}) \left( \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y} \\ \frac{\partial}{\partial z} \end{array} \right) \\
&=& (\boldsymbol{e}_r \ \boldsymbol{e}_\theta \ \boldsymbol{e}_\phi) \left( \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial r} \\ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \\ \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi} \end{array} \right) \\
&=& \boldsymbol{e}_r \, \frac{\partial}{\partial r} + \boldsymbol{e}_\theta \, \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} + \boldsymbol{e}_\phi \, \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \phi}
\end{eqnarray}と表すことができることが分かります。
