ある集団の要素がそれぞれ値$x_i$を持つとき、の平均
は、
\begin{equation}
E(X) = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_N}{N} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i
\end{equation}です。
期待値、平均値 - 数式で独楽する
ある集団の要素がそれぞれ複数の値$(x_i, y_i)$を持つとき、の平均値
は、
\begin{equation}
E(Y) = \frac{y_1 + y_2 + \cdots + y_N}{N} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N y_i
\end{equation}です。
値が重複する、値が確率を伴う、値が連続の場合も同様に、
\begin{eqnarray}
E(Y) &=& \frac{y_1 f_1 + y_2 f_2 + \cdots + y_n f_n}{N} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^n y_i f_i & \quad \left( \sum_{i=1}^n f_i = N \right) \\
E(Y) &=& y_1 p_1 + y_2 p_2 + \cdots + y_n p_n = \sum_{i=1}^n y_i p_i & \quad \left( \sum_{i=1}^n p_i = 1 \right) \\
E(Y) &=& \int_{-\infty}^{\infty} y(x) f(x) dx & \quad \left( \int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx =1 \right)
\end{eqnarray}です。
また、の平均値
は、
\begin{eqnarray}
E(X^2) &=& \frac{{x_1}^2 + {x_2}^2 + \cdots + {x_N}^2}{N} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N {x_i}^2 \\
E(X^2) &=& \frac{{x_1}^2 f_1 + {x_2}^2 f_2 + \cdots + {x_n}^2 f_n}{N} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^n {x_i}^2 f_i & \quad \left( \sum_{i=1}^n f_i = N \right) \\
E(X^2) &=& {x_1}^2 p_1 + {x_2}^2 p_2 + \cdots + {x_n}^2 p_n = \sum_{i=1}^n {x_i}^2 p_i & \quad \left( \sum_{i=1}^n p_i = 1 \right) \\
E(X^2) &=& \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx & \quad \left( \int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx =1 \right)
\end{eqnarray}です。
