ある集団の要素がそれぞれ値$x_i$を持つとき、の平均
は、
\begin{equation}
E(X) = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_N}{N} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i
\end{equation}です。
期待値、平均値 - 数式で独楽する
このとき、
($a,b$ : 定数)の平均値
は、
\begin{equation}
E(aX +b) = aE(X) +b
\end{equation}
となります。
みていきましょう。
まず、値が離散的は場合は、
\begin{eqnarray}
E(aX+b) &=& \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (ax_i +b) \\
&=& \frac{1}{N} \left( a \sum_{i=1}^N x_i + Nb \right) \\
&=& a \left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i \right) + b \\
&=& aE(X) +b
\end{eqnarray}です。
値が重複する、値が確率を伴う、値が連続の場合も同様に、
\begin{eqnarray}
E(aX+b) &=& \frac{1}{N} \sum_{i=1}^n (ax_i +b)f_i \\
&=& a \left( \sum_{i=1}^n x_i f_i \right) + \left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^n f_i \right) b \\
&=& aE(X) +b & \quad \left( \sum_{i=1}^n f_i = N \right) \\
E(aX+b) &=& \sum_{i=1}^n (ax_i + b) p_i \\
&=& a \left( \sum_{i=1}^n x_i p_i \right) + \left( \sum_{i=1}^n p_i \right) b \\
&=& aE(X) +b & \quad \left( \sum_{i=1}^n p_i = 1 \right) \\
E(aX+b) &=& \int_{-\infty}^\infty (ax+b) \ dx \\
&=& a \int_{-\infty}^\infty x \ f(x) \ dx + b \int_{-\infty}^\infty f(x) \ dx \\
&=& aE(X) +b & \quad \left( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \ dx =1 \right)
\end{eqnarray}となります。
