期待値、平均値の性質その3

ある集団の要素がそれぞれ値$x_i$を持つとき、 $X = \{ x_1, x_2, \cdots , x_N \}$ の平均 $E(X)$ は、
\begin{equation}
E(X) = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_N}{N} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i
\end{equation}です。
値$y_i$を持つとき、同様に $Y = \{ y_1, y_2, \cdots , y_N \}$ の平均 $E(Y)$ は、
\begin{equation}
E(Y) = \frac{y_1 + y_2 + \cdots + y_N}{N} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N y_i
\end{equation}です。
期待値、平均値 - 数式で独楽する

このとき、

$X +Y$ ($a,b$ : 定数)の平均値 $E(X +Y)$ は、
\begin{equation}
E(X +Y) = E(X) + E(Y)
\end{equation}

となります。

みていきましょう。

まず、値が離散的は場合は、
\begin{eqnarray}
E(X+Y) &=& \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i +y_i) \\
&=& \frac{1}{N} \left( \sum_{i=1}^N x_i + \sum_{i=1}^N y_i \right) \\
&=& E(X) + E(Y)
\end{eqnarray}です。

値が重複する、値が確率を伴う、値が連続の場合も同様に、
\begin{eqnarray}
E(X+Y) &=& \frac{1}{N} \sum_{i=1}^n (x_i +y_i)f_i \\
&=& \left( \sum_{i=1}^n x_i f_i \right) + \left( \frac{1}{N} \sum_{i=1}^n y_i f_i \right) \\
&=& E(X) + E(Y)b & \quad \left( \sum_{i=1}^n f_i = N \right) \\
E(X+Y) &=& \sum_{i=1}^n (x_i + y_i) p_i \\
&=& \left( \sum_{i=1}^n x_i p_i \right) + \left( \sum_{i=1}^n y_i p_i \right) \\
&=& E(X) + E(Y) & \quad \left( \sum_{i=1}^n p_i = 1 \right) \\
E(X+Y) &=& \int_{-\infty}^\infty (x+y) \ dx \\
&=& \int_{-\infty}^\infty x \ f(x) \ dx + \int_{-\infty}^\infty y \, f(x) \ dx \\
&=& E(X) + E(Y) & \quad \left( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \ dx =1 \right)
\end{eqnarray}となります。