京大 2018年理系第5問その1 - 数式で独楽する

曲線 $y=\log x$ 上の点A $(t, \log t)$ における法線上に、点BをAB=1となるようにとる。ただしBの $x$ 座標は $t$ より大きいとする。
(1) 点Bの座標 $(u(t), v(t))$ を求めよ。また、 $\displaystyle \left( \frac{du}{dt}, \frac{dv}{dt} \right)$ を求めよ。
(2) 実数 $r$ を $0 < r < 1$ を満たすとし、 $t$ が $r$ から1まで動くときに点Aと点Bが描く曲線の長さをそれぞれ $L_1(r), \, L_2(r)$ とする。極限 $\displaystyle \lim_{r \to +0} \Bigl( L_1(r) - L_2(r) \Bigr)$ を求めよ。

小問(1)の解答例
小問(1)の解説
小問(2)の解答例

小問(1)の解答例

$f(x)=\log x$ とすると、
\begin{equation}
f'(x) = \frac{1}{x}
\end{equation}です。
点Aにおける法線の式は、
\begin{equation}
y = -t(x -t) + \log t
\end{equation}となります。

AB=1なので、
\begin{eqnarray}
u(t) - t &=& \frac{1}{\sqrt{t^2 +1}} \\
v(t) - \log t &=& - \frac{t}{\sqrt{t^2 +1}}
\end{eqnarray}です。これより、
\begin{eqnarray}
u(t) &=& t + \frac{1}{\sqrt{t^2 +1}} \\
v(t) &=& \log t - \frac{t}{\sqrt{t^2 +1}}
\end{eqnarray}を得ます。

また、
\begin{eqnarray}
\frac{du}{dt} &=& 1 - \frac{1}{2} \frac{2t}{(t^2 +1)^{3/2}} \\
&=& 1 - \frac{t}{(t^2 +1)^{3/2}} \\
\frac{dv}{dt} &=& \frac{1}{t} - \cfrac{\sqrt{t^2 +1} - \cfrac{1}{2} \cfrac{2t^2}{\sqrt{t^2 +1}}}{t^2 +1} \\
&=& \frac{1}{t} - \frac{1}{(t^2 +1)^{3/2}}
\end{eqnarray}となります。

以上より、
\begin{eqnarray}
(u(t), \, v(t)) &=& \left( t + \frac{1}{\sqrt{t^2 +1}} , \, \log t - \frac{t}{\sqrt{t^2 +1}} \right) \\
\left( \frac{du}{dt} , \, \frac{dv}{dt} \right) &=& \left( 1 - \frac{t}{(t^2 +1)^{3/2}} , \, \frac{1}{t} - \frac{1}{(t^2 +1)^{3/2}} \right) \\
&=& \left( 1 - \frac{t}{(t^2 +1)^{3/2}} \right) \left( 1, \, \frac{1}{t} \right)
\end{eqnarray}となります。