定積分
を求めよ。
解答例
\begin{eqnarray}
I &=& \int_0^2 \frac{2x +1}{\sqrt{x^2 +4}} \, dx \\
I_1 &=& \int_0^2 \frac{2x}{\sqrt{x^2 +4}} \, dx \\
I_2 &=& \int_0^2 \frac{dx}{\sqrt{x^2 +4}}
\end{eqnarray}とすると、
\begin{equation}
I = I_1 + I_2
\end{equation}です。
まず
\begin{eqnarray}
I_1 &=& \biggl[ 2\sqrt{x^2 +4} \biggr]_0^2 \\
&=& 2 \left( 2\sqrt{2} -2 \right) \\
&=& 4\sqrt{2} -4
\end{eqnarray}です。
次に
\begin{equation}
x = 2\tan t
\end{equation}とすると、
\begin{eqnarray}
dx &=& \frac{2 \, dt}{\cos^2 t} \\
\frac{1}{\sqrt{x^2 +4}} &=& \cos t
\end{eqnarray}です。積分区間は次のように変換されます。
\begin{array}{|c|ccc|}
\hline
x & 0 & \to & 2 \\ \hline
t & 0 & \to & \pi/4 \\ \hline
\end{array}
したがって、
\begin{eqnarray}
I_2 &=& \int_0^{\pi/4} \frac{dt}{\cos t} \\
&=& \int_0^{\pi/4} \frac{\cos t \, dt}{\cos^2 t} \\
&=& \int_0^{\pi/4} \frac{\cos t \, dt}{1 -\sin^2 t} \\
&=& \frac{1}{2} \int_0^{\pi/4} \left( \frac{1}{1 -\sin t} +\frac{1}{1 +\sin t} \right) \, dt \\
&=& \frac{1}{2} \biggl[ -\log (1 -\sin t) +\log (1 +\sin t) \biggr]_0^{\pi/4} \\
&=& \frac{1}{2} \left[ \log \frac{1 +\sin t}{1 -\sin t} \right]_0^{\pi} \\
&=& \frac{1}{2} \log \cfrac{1 +\cfrac{1}{\sqrt{2}}}{1 -\cfrac{1}{\sqrt{2}}} \\
&=& \frac{1}{2} \log \frac{\sqrt{2} +1}{\sqrt{2} -1} \\
&=& \frac{1}{2} \log \left( \sqrt{2} +1 \right)^2 \\
&=& \log \left( \sqrt{2} +1 \right)
\end{eqnarray}となります。
よって、求める定積分は
\begin{eqnarray}
I &=& I_1 +I_2 \\
&=& 4\sqrt{2} -4 +\log (\sqrt{2} +1)
\end{eqnarray}となります。
解説
置換積分の問題です。
分母にがある場合は
\begin{equation}
x = a \tan t
\end{equation}と置くと上手くいくことがあります。
途中から別の解法があります。
京大 2007年 理系 第1問[1] 別解 - 数式で独楽する
