京大 2014年 理系 第6問 その1

双曲線の第1象限にある部分と、原点Oを中心とする円の第1象限にある部分をそれぞれとする。とは2つの異なる点A, Bで交わり、点Aにおけるの接線と線分OAのなす角はであるとする。このときとで囲まれる図形の面積を求めよ。

解答案

交点を求める

上の点Aにおける接線の式は、
\begin{equation}
y = =\frac{1}{t^2} \, (x -t) +\frac{1}{t}
\end{equation}です。
線分OAの傾きは
\begin{equation}
\tan \alpha = \frac{1}{t^2}
\end{equation}
接線の傾きは
\begin{equation}
\tan \beta = - \frac{1}{t^2}
\end{equation}であることが分かります。

これより、
\begin{eqnarray}
\tan(\alpha -\beta) &=& \frac{\tan \alpha -\tan \beta}{1 +\tan \alpha \tan \beta} \\
&=& \cfrac{\cfrac{2}{t^2}}{1 -\cfrac{1}{t^4}} \\
&=& \frac{2t^2}{t^4 -1}
\end{eqnarray}となります。
加法定理・正接の加法定理 - 数式で独楽する

一方、接線とOAのなす角がであることから、
\begin{equation}
\alpha -\beta = \frac{5}{6} \, \pi, \ \frac{\pi}{6}
\end{equation}です。これより
\begin{equation}
\tan (\alpha -\beta) = \frac{2t^2}{t^4 -1} = \mp \frac{1}{\sqrt{3}}
\end{equation}を得ます。

複号の負の方をとって整理すると、
\begin{eqnarray}
t^4 +2\sqrt{3} t^2 +1 &=& 0 \\
t^2 &=& -\sqrt{3} +2 \quad (\because t^2 > 0) \\
\therefore \quad t &=& \sqrt{2 -\sqrt{3}\ } \quad (\because t > 0)
\end{eqnarray}となります。
正の方をとると、
\begin{eqnarray}
t^4 -2\sqrt{3} t^2 +1 &=& 0 \\
t^2 &=& \sqrt{3} +2 \quad (\because t^2 > 0) \\
\therefore \quad t &=& \sqrt{2 +\sqrt{3}\ } \quad (\because t > 0)
\end{eqnarray}となります。

よって、2交点の座標は
\begin{eqnarray}
\mathrm{A} \left( \sqrt{2 -\sqrt{3}\ }, \ \frac{1}{\sqrt{2 -\sqrt{3}\ }} \right) \\
\mathrm{B} \left( \sqrt{2 +\sqrt{3}\ }, \ \frac{1}{\sqrt{2 +\sqrt{3}\ }} \right)
\end{eqnarray}となります。

円の方程式を求める

先ほどの結果より、
\begin{eqnarray}
\mathrm{OA}^2 &=& 2 +\sqrt{3} +\frac{1}{2 +\sqrt{3}\ } \\
&=& 2 +\sqrt{3} +2 -\sqrt{3} \\
&=& 4
\end{eqnarray}を得ます。円の半径は2となります。

したがって、の式は、
\begin{equation}
x^2 +y^2 =4
\end{equation}となります。

領域の面積を求める

続きます。
京大 2014年 理系 第6問 その2 - 数式で独楽する

解説

放物線の接線は容易に求めることができます。
OAと接線のなす角が指定されています。それぞれの傾きは軸となす角の正接に等しいことを利用し、加法定理を用います。
OAと接線の交わり方は、2通りあることに留意する必要があります。
2交点を求めることができれば、円の方程式を求めることは簡単です。