2002年後期京大理系第5問その2

数列 $\{ a_n \} , \ \{ b_n\}$ を $a_1 = 3, \ b_1 = 2$
\begin{equation}
a_{n +1} = {a_n}^2 +2{b_n}^2, \ \ b_{n +1} = 2a_n b_n \quad (n \geqq 1)
\end{equation}で定める。
(1) ${a_n}^2 -2{b_n}^2$ を求めよ。
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ を求めよ。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
小問(2)の解説

小問(1)の解答例

2002年後期京大理系第5問その1 - 数式で独楽する

小問(2)の解答例

小問(1)の途中経過
\begin{eqnarray}
a_n +\sqrt{2} \, b_n &=& \left( 3 +2\sqrt{2} \right)^{2(n -1)} \\
a_n -\sqrt{2} \, b_n &=& \left( 3 -2\sqrt{2} \right)^{2(n -1)}
\end{eqnarray}より、
\begin{eqnarray}
a_n &=& \frac{1}{2} \left \{ \left( 3 +2\sqrt{2} \right)^{2(n -1)} +\left( 3 -2\sqrt{2} \right)^{2(n -1)} \right \} \\
b_n &=& \frac{1}{2\sqrt{2}} \left \{ \left( 3 +2\sqrt{2} \right)^{2(n -1)} -\left( 3 -2\sqrt{2} \right)^{2(n -1)} \right \}
\end{eqnarray}となります。

したがって、
\begin{eqnarray}
\frac{a_n}{b_n} &=& \frac{2\sqrt{2}}{2} \frac{\left( 3 +2\sqrt{2} \right)^{2(n -1)} +\left( 3 -2\sqrt{2} \right)^{2(n -1)}}{\left( 3 +2\sqrt{2} \right)^{2(n -1)} -\left( 3 -2\sqrt{2} \right)^{2(n -1)}} \\
&=& \sqrt{2} \cdot \cfrac{\ 1 +\cfrac{\left( 3 -2\sqrt{2} \right)^{2(n -1)}}{\left( 3 +2\sqrt{2} \right)^{2(n -1)}} \ }{1 -\cfrac{\left( 3 -2\sqrt{2} \right)^{2(n -1)}}{\left( 3 +2\sqrt{2} \right)^{2(n -1)}}}
\end{eqnarray}より、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \sqrt{2}
\end{equation}を得ます。