を満たす複素数
をすべて求めよ。
解答例
与式の複素共軛(共役)は
\begin{equation}
\frac{2\bar{z} -2i}{\bar{z} -2i} = z
\end{equation}です。
これに与式を代入し、を消去します。
\begin{equation}
\cfrac{2 \cdot \cfrac{2z +2i}{z +2i} -2i}{\cfrac{2z +2i}{z +2i} -2i} = z
\end{equation}
繁分数の分母を払います。
\begin{eqnarray}
\frac{2(2z +2i) -2i(z +2i)}{2z +2i -2i(z +2i)} &=& z \\
\frac{(2z +2i) -i(z +2i)}{z +i -i(z +2i)} &=& z \\
\frac{(2 -i)z +2(1 +i)}{(1 -i)z +(2 +i)} &=& z
\end{eqnarray}
さらに分母を払って整理します。
\begin{eqnarray}
(2 -i)z +2(1 +i) &=& z \left \{ (1 -i)z +(2 +i) \right \} \\
(1 -i)z^2 +2iz -2(1 +i) &=& 0 \\
z^2 -(1 -i)z -2i &=& 0
\end{eqnarray}
これを解いて
\begin{eqnarray}
z &=& \frac{1 -i \pm \sqrt{(1 -i)^2 +8i}}{2} \\
&=& \frac{1 -i \pm \sqrt{6i}}{2}
\end{eqnarray}を得ます。
\begin{eqnarray}
\sqrt{6i} &=& \sqrt{6} \cdot \frac{1 +i}{\sqrt{2}} \\
&=& \sqrt{3} (1 +i)
\end{eqnarray}なので、求める複素数は
\begin{equation}
z = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} +\frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}
\end{equation}となります。なお、複号は同順です。
解説
本稿は、共軛の共軛は元の複素数であることを用いています。
本文にも書いていますが、そうすることで共軛を消去できます。
共軛複素数 - 数式で独楽する
共軛複素数 その2 - 数式で独楽する
また、虚数単位の平方根は
\begin{equation}
\sqrt{i} = \frac{1 +i}{\sqrt{2}}
\end{equation}です。
\begin{equation}
\left( -\frac{1 +i}{\sqrt{2}} \right)^2 = i
\end{equation}もありますが、最終形は同じです。
虚数単位の平方根 - 数式で独楽する
オーソドックスな解法はこちらです。
2005年後期 京大 理系 第2問 - 数式で独楽する
こちらで検算しています。
2005年後期 京大 理系 第2問 検算 - 数式で独楽する
