を満たす複素数
をすべて求めよ。
求める複素数は
\begin{equation}
z = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} +\frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}
\end{equation}となります。複号は同順です。
2005年後期 京大 理系 第2問 - 数式で独楽する
2005年後期 京大 理系 第2問 別解 - 数式で独楽する
本稿では検算をしていきます。
\begin{equation}
z = \frac{1 +\sqrt{3}}{2} +\frac{-1 +\sqrt{3}}{2} \, i
\end{equation}の場合、
\begin{eqnarray}
\frac{2z +2i}{z +2i} &=& \cfrac{(1 +\sqrt{3}) +(1 +\sqrt{3}) \, i}{\cfrac{1 +\sqrt{3}}{2} +\cfrac{3 +\sqrt{3}}{2} \, i} \\
&=& \cfrac{1 +i}{\cfrac{1}{2} +\cfrac{\sqrt{3}}{2} \, i} \\
&=& \frac{1}{2} (1 +i)(1 -\sqrt{3} \, i) \\
&=& \frac{1 +\sqrt{3}}{2} -\frac{-1 +\sqrt{3}}{2} \, i \\
&=& \bar{z}
\end{eqnarray}となります。
一方
\begin{equation}
z = \frac{1 -\sqrt{3}}{2} +\frac{-1 -\sqrt{3}}{2} \, i
\end{equation}の場合、
\begin{eqnarray}
\frac{2z +2i}{z +2i} &=& \cfrac{(1 -\sqrt{3}) +(1 -\sqrt{3}) \, i}{\cfrac{1 -\sqrt{3}}{2} +\cfrac{3 -\sqrt{3}}{2} \, i} \\
&=& \cfrac{1 +i}{\cfrac{1}{2} -\cfrac{\sqrt{3}}{2} \, i} \\
&=& \frac{1}{2} (1 +i)(1 +\sqrt{3} \, i) \\
&=& \frac{1 +\sqrt{3}}{2} -\frac{-1 -\sqrt{3}}{2} \, i \\
&=& \bar{z}
\end{eqnarray}となります。
どちらの場合も、条件の式を満たしています。
2行目への変形では、で約分しています。
