京大 2018年理系第5問その2 - 数式で独楽する

曲線 $y=\log x$ 上の点A $(t, \log t)$ における法線上に、点BをAB=1となるようにとる。ただしBの $x$ 座標は $t$ より大きいとする。
(1) 点Bの座標 $(u(t), v(t))$ を求めよ。また、 $\displaystyle \left( \frac{du}{dt}, \frac{dv}{dt} \right)$ を求めよ。
(2) 実数 $r$ を $0 < r < 1$ を満たすとし、 $t$ が $r$ から1まで動くときに点Aと点Bが描く曲線の長さをそれぞれ $L_1(r), \, L_2(r)$ とする。極限 $\displaystyle \lim_{r \to +0} \Bigl( L_1(r) - L_2(r) \Bigr)$ を求めよ。

小問(1)の解答例、抄
小問(2)の解答例
小問(2)の解説

続きです。
京大 2018年理系第5問その1 - 数式で独楽する

小問(1)の解答例、抄

\begin{eqnarray}
(u(t), \, v(t)) &=& \left( t + \frac{1}{\sqrt{t^2 +1}} , \, \log t - \frac{t}{\sqrt{t^2 +1}} \right) \\
\left( \frac{du}{dt} , \, \frac{dv}{dt} \right) &=& \left( 1 - \frac{t}{(t^2 +1)^{3/2}} , \, \frac{1}{t} - \frac{1}{(t^2 +1)^{3/2}} \right) \\
&=& \left( 1 - \frac{t}{(t^2 +1)^{3/2}} \right) \left( 1, \, \frac{1}{t} \right)
\end{eqnarray}

小問(2)の解答例

点Aの座標を $\left( x(t),y(t) \right)$ とすると、
\begin{eqnarray}
(x(t),y(t)) &=& (t, \log t) \\
\left( \frac{dx}{dt}, \, \frac{dy}{dt} \right) &=& \left( 1, \, \frac{1}{t} \right)
\end{eqnarray}です。

これより、
\begin{eqnarray}
L_1(r) &=& \int_r^1 \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt \\
&=& \int_r^1 \sqrt{1 + \frac{1}{t^2}} \, dt \\
L_2(r) &=& \int_r^1 \sqrt{\left( \frac{du}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dv}{dt} \right)^2} \, dt \\
&=& \int_r^1 \sqrt{\left( 1 - \frac{t}{(t^2 +1)^{3/2}} \right)^2 \left( 1 + \frac{1}{t^2} \right) } \, dt
\end{eqnarray}となります。
曲線の長さ - 数式で独楽する

積分範囲は $r < t < 1$ なので、
\begin{equation}
1 - \frac{t}{(t^2 +1)^{3/2}} = \frac{(t^2 +1)^{3/2} -t}{(t^2 +1)^{3/2}} > 0
\end{equation}となります。したがって、
\begin{equation}
L_2(r) = \int_r^1 \left( 1 - \frac{t}{(t^2 +1)^{3/2}} \right) \sqrt{1 + \frac{1}{t^2}} \, dt
\end{equation}を得ます。

よって、
\begin{eqnarray}
L_1(r) - L_2(r) &=& \int_r^1 \frac{t}{(t^2 +1)^{3/2}} \sqrt{1 + \frac{1}{t^2}} \, dt \\
&=& \int_r^1 \frac{dt}{t^2 +1}
\end{eqnarray}となります。

ここで、
\begin{eqnarray}
t &=& \tan \theta \\
r &=& \tan \alpha
\end{eqnarray}と置きます。
積分範囲 $r < t < 1$ は、
\begin{equation}
\alpha < \theta < \frac{\pi}{4}
\end{equation}となります。また、
\begin{equation}
dt = (1 + \tan^2 \theta) \, d\theta
\end{equation}なので、
\begin{eqnarray}
L_1(r) - L_2(r) &=& \int_\alpha^{\pi/4} d\theta \\
&=& \biggl[ \ \theta \ \biggr]_\alpha^{\pi/4} \\
&=& \frac{\pi}{4} -\alpha
\end{eqnarray}となります。
定積分の置換積分 - 数式で独楽する

ここで、 $r \to +0$ とすると、
\begin{equation}
\alpha \to +0
\end{equation}なので、
\begin{eqnarray}
\lim_{r \to +0} \Bigl( L_1(r) - L_2(r) \Bigr) &=& \lim_{\alpha \to +0} \left( \frac{\pi}{4} -\alpha \right) \\
&=& \frac{\pi}{4}
\end{eqnarray}を得ます。