本稿では、対角化の具体例を見ていきます。
行列の対角化 - 数式で独楽する
\begin{equation}
A = \left( \begin{array}{rrr}
5 & -2 & 4 \\
2 & 0 & 2 \\
-2 & 1 & -1
\end{array} \right)
\end{equation}を対角化します。
まず、固有値・固有ベクトルは
\begin{eqnarray}
\lambda=1 & \quad & \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) , \quad
\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \\
\lambda=2 & \quad & \left( \begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right)
\end{eqnarray}です。
固有値・固有ベクトルの実演 その1 - 数式で独楽する
固有ベクトルを横に並べて行列$P$
\begin{equation}
P = \left( \begin{array}{rrr}
1 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 1 \\
-1 & 1 & -1
\end{array} \right)
\end{equation}を作ります。
逆行列は、
\begin{equation}
P^{-1} = \left( \begin{array}{rrr}
-3 & 2 & -4 \\
-1 & 1 & -1 \\
2 & -1 & 2
\end{array} \right)
\end{equation}です。
逆行列の実演 その1 - 数式で独楽する
これより、
\begin{eqnarray}
P^{-1} AP &=& \left( \begin{array}{rrr}
-3 & 2 & -4 \\
-1 & 1 & -1 \\
2 & -1 & 2
\end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr}
5 & -2 & 4 \\
2 & 0 & 2 \\
-2 & 1 & -1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr}
1 & 0 & 2 \\
0 & 2 & 1 \\
-1 & 1 & -1
\end{array} \right) \\
&=& \left( \begin{array}{rrr}
-3 & 2 & -4 \\
-1 & 1 & -1 \\
2 & -1 & 2
\end{array} \right) \left( \begin{array}{rrr}
1 & 0 & 4 \\
0 & 2 & 2 \\
-1 & 1 & -2
\end{array} \right) \\
&=& \left( \begin{array}{rrr}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array} \right)
\end{eqnarray}となります。
