本稿では、逆行列を具体的に余因子を用いて求めてみます。
\begin{equation}
P= \left( \begin{array}{rrr} 1&0&2\\0&2&1\\-1&1&-1 \end{array} \right)
\end{equation}の逆行列を求めます。
行列式は
\begin{eqnarray}
\mathrm{det} P &=& 1\cdot 2\cdot (-1) -1\cdot 1\cdot 1 -2\cdot 2\cdot (-1) \\
&=& 1
\end{eqnarray}です。
余因子は、以下の通りです。
\begin{eqnarray}
& C_{11} = \left| \begin{array}{rr} 2&1\\1&-1 \end{array} \right| = -3, & \quad
C_{12} = \left| \begin{array}{rr} 1&0\\-1&1 \end{array} \right| = -1, & \quad
C_{13} = \left| \begin{array}{rr} 0&2\\-1&1 \end{array} \right| = 2, \\
& C_{21} = \left| \begin{array}{rr} 1&-1\\0&2 \end{array} \right| = 2, & \quad
C_{22} = \left| \begin{array}{rr} -1&-1\\2&1 \end{array} \right| = 1, & \quad
C_{23} = \left| \begin{array}{rr} -1&1\\1&0 \end{array} \right| = -1, \\
& C_{31} = \left| \begin{array}{rr} 0&2\\2&1 \end{array} \right| = -4, & \quad
C_{32} = \left| \begin{array}{rr} 2&1\\1&0 \end{array} \right| = -1, & \quad
C_{33} = \left| \begin{array}{rr} 1&0\\0&2 \end{array} \right| = 2
\end{eqnarray}
よって、逆行列は
\begin{equation}
P^{-1} = \left( \begin{array}{rrr} -3&3&-4\\-1&1&-1\\2&-1&2 \end{array} \right)
\end{equation}となります。
逆行列 - 数式で独楽する
