固有値重複の場合の対角化(?)

相異なる固有値、固有ベクトルをもつ対称行列は、

• 固有ベクトルを並べて作った直交行列で、
• 固有値を並べて作った対角行列に

対角化することができます。

行列の対角化 - 数式で独楽する
相異なる固有値と付随する固有ベクトル - 数式で独楽する

固有値が重複して、固有ベクトルが1つしか定まらない場合について考えていきましょう。
つまり、特性方程式
\begin{equation}
\mathrm{det} (A -\lambda I) =0
\end{equation}が重解を持ち、対応する固有ベクトルが1つしか定まらない場合です。
固有値・固有ベクトル - 数式で独楽する

ここでは、2×2行列$A$の固有値および固有ベクトルについて考えます。
\begin{equation}
A \boldsymbol{v}_1 = \lambda \boldsymbol{v}_1 \tag{1}
\end{equation}とする固有値、固有ベクトルが1組だけ判明します。
なお、一次独立な固有ベクトルが2つ出た場合はなので、除外します。

式(1)を変形しておきます。
\begin{equation}
(A -\lambda I) \boldsymbol{v}_1 = \boldsymbol{0} \tag{2}
\end{equation}
ここで、2つ目のベクトルを、
\begin{equation}
A \boldsymbol{v}_2 = \boldsymbol{v}_1 + \lambda \boldsymbol{v}_2 \tag{3}
\end{equation}となるように定めます。

このとき、
\begin{equation}
(A -\lambda I) \boldsymbol{v}_2 = \boldsymbol{v}_1
\end{equation}と式(2)より、
\begin{equation}
(A -\lambda I)^2 \boldsymbol{v}_2 = (A -\lambda I) \boldsymbol{v}_1 = \boldsymbol{0} \tag{4}
\end{equation}となります。

一方、式(1), (3)を並べて書くと、
\begin{equation}
A(\boldsymbol{v}_1 \ \boldsymbol{v}_2) =
(\lambda \boldsymbol{v}_1 \quad \boldsymbol{v}_1 + \lambda \boldsymbol{v}_2) =
(\boldsymbol{v}_1 \ \boldsymbol{v}_2)
\left( \begin{array}{cc}
\lambda & 1 \\
0 & \lambda
\end{array} \right)
\end{equation}を得ます。

これより、
\begin{equation}
(\boldsymbol{v}_1 \ \boldsymbol{v}_2)^{-1} A (\boldsymbol{v}_1 \ \boldsymbol{v}_2) =
\left( \begin{array}{cc}
\lambda & 1 \\
0 & \lambda
\end{array} \right)
\end{equation}となります。*1

つまり、特性方程式が重解となる固有値を持ち、対応する固有ベクトルが1つしか取れない場合は、行列を用いて三角行列に変形することができます。

*1:なので、は逆行列をもちます。仮にとするとなので、式(1), (3)より \begin{eqnarray} A \boldsymbol{v}_2 &=& A(k \boldsymbol{v}_1) = k \lambda \boldsymbol{v}_1 \\ A \boldsymbol{v}_2 &=& \boldsymbol{v}_1 + \lambda \boldsymbol{v}_2 = (1 + k \lambda) \boldsymbol{v}_1 \end{eqnarray}となりますが、両者を同時に満たすことはありません。 よってです。