本稿では、行列の具体例を出して、固有値・固有ベクトル求めていきます。
固有値・固有ベクトル - 数式で独楽する
\begin{equation}
A = \left( \begin{array}{rrr}
5 & -2 & 4 \\
2 & 0 & 2 \\
-2 & 1 & -1
\end{array} \right)
\end{equation}の固有値・固有ベクトルを求めます。
すなわち
が
なる解をもつ条件は、
\begin{equation}
\mathrm{det} (A -\lambda I) =0
\end{equation}です。これが「特性方程式」です。具体的に計算していきます。
\begin{eqnarray}
\mathrm{det} (A - \lambda I) &=& \left| \begin{array}{ccc}
5-\lambda & -2 & 4 \\
2 & -\lambda & 2 \\
-2 & 1 & -1 -\lambda
\end{array} \right| \\
&=& \left| \begin{array}{ccc}
1-\lambda & 0 & 2-2\lambda \\
2 & -\lambda & 2 \\
-2 & 1 & -1 -\lambda
\end{array} \right| \\
&=& (1-\lambda) \left \{ \lambda (1+\lambda) -2 +2(2 -2\lambda) \right \} \\
&=& (1-\lambda) (\lambda +\lambda^2 -2+4 -4\lambda) \\
&=& (1-\lambda) (\lambda^2 -3\lambda +2) \\
&=& -(\lambda -1)^2 (\lambda -2) =0 \\
\therefore \quad \lambda &=& 1(重解), 2
\end{eqnarray}を得ます。
固有値の場合
\begin{eqnarray}
(A -\lambda I) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) &=&
\left( \begin{array}{rrr}
4 & -2 & 4 \\
2 & -1 & 2 \\
-2 & 1 & -2
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \boldsymbol{0} \\
\Rightarrow \quad 2x -y +2z &=& 0 \\
\Rightarrow \quad \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) &=&
\left( \begin{array}{c} x \\ 2x +2z \\ z \end{array} \right) \\
&=& x \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array} \right) + z \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \\
&=& x \left( \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right) + (x+z) \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)
\end{eqnarray}なので、固有ベクトルを
\begin{equation}
\left( \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right) , \quad
\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)
\end{equation}とすることができます。*1
固有値の場合
\begin{eqnarray}
(A -\lambda I) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{rrr}
3 & -2 & 4 \\
2 & -2 & 2 \\
-2 & 1 & -3
\end{array} \right) &=& \boldsymbol{0} \\
\Rightarrow \quad \left( \begin{array}{rrr}
1 & -1 & 1 \\
2 & -2 & 2 \\
-2 & 1 & -3
\end{array} \right) &=& \boldsymbol{0} \\
\Rightarrow \quad \left( \begin{array}{rrr}
1 & -1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & -1
\end{array} \right) &=& \boldsymbol{0} \\
\Rightarrow \quad \left \{ \begin{array}{r cc}
x -y +z &=& 0 \\
y + z &=& 0
\end{array} \right. \\
\Rightarrow \quad \left \{ \begin{array}{r cc}
x &=& -2z \\
y &=& -z
\end{array} \right.
\end{eqnarray}なので、固有ベクトルはです。
以上をまとめると、固有値および固有ベクトルは、
\begin{eqnarray}
\lambda=1 & \quad & \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) , \quad
\left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \\
\lambda=2 & \quad & \left( \begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right)
\end{eqnarray}となります。
対角化はこちら。
対角化の実演 その1 - 数式で独楽する
