京大 2011年理系第4問 - 数式で独楽する

$n$ は2以上の整数であり、 $\displaystyle \frac{1}{2} < a_j < 1 \quad (j =1,2, \cdots , n)$ であるとき、不等式
\begin{equation}
(1 -a_1)(1 -a_2) \cdots (1 -a_n) > 1 -\left(a_1 +\frac{a_2}{2} +\cdots +\frac{a_n}{2^{n -1}} \right)
\end{equation}が成立することを示せ。

解答例
解説

解答例

(i) $n=2$ の場合
与えられた条件より、
\begin{eqnarray}
(1 -a_1)(1 -a_2) &=& 1 -(a_1 +a_2) +a_1 a_2 \\
& > & 1 -(a_1 +a_2) +\frac{a_2}{2} \quad \left( \because \frac{1}{2} < a_2 < 1 \right) \\
&=& 1 -\left( a_1 +\frac{a_2}{2} \right)
\end{eqnarray}が成り立ちます。

(ii) $n=k$ の場合
\begin{equation}
(1 -a_1)(1 -a_2) \cdots (1 -a_k) > 1 -\left(a_1 +\frac{a_2}{2} +\cdots +\frac{a_k}{2^{k -1}} \right)
\end{equation}が成り立つと仮定します。

このとき、
\begin{eqnarray}
&&(1 -a_1)(1 -a_2) \cdots (1 -a_k)(1 -a_{k+1}) \\
&& \quad > \left \{ 1 -\left(a_1 +\frac{a_2}{2} +\cdots +\frac{a_k}{2^{k -1}} \right) \right \} (1 -a_{k+1}) \\
&& \quad = 1 -\left(a_1 +\frac{a_2}{2} +\cdots +\frac{a_k}{2^{k -1}} \right) -a_{k+1} +a_{k+1} \left(a_1 +\frac{a_2}{2} +\cdots +\frac{a_k}{2^{k -1}} \right) \\
&& \quad > 1 -\left(a_1 +\frac{a_2}{2} +\cdots +\frac{a_k}{2^{k -1}} \right) -a_{k+1} -a_{k+1} \left( \frac{1}{2} +\frac{1}{2^2} +\cdots +\frac{1}{2^k} \right) \\
&& \quad = 1 -\left(a_1 +\frac{a_2}{2} +\cdots +\frac{a_k}{2^{k -1}} \right) -a_{k+1} +a_{k+1} \left( 1 -\frac{1}{2^k} \right) \\
&& \quad = 1 -\left(a_1 +\frac{a_2}{2} +\cdots +\frac{a_n}{2^{k -1}} +\frac{a_{k+1}}{2^k} \right)
\end{eqnarray}となり、 $n = k+1$ の場合も成り立ちます。

以上より、 $n \geqq 2$ なる整数に対し
\begin{equation}
(1 -a_1)(1 -a_2) \cdots (1 -a_n) > 1 -\left(a_1 +\frac{a_2}{2} +\cdots +\frac{a_n}{2^{n -1}} \right)
\end{equation}が成り立つことが示されました。