複素数値関数の内積 - 数式で独楽する

複素数値関数 $A(x), B(x)$ の「内積」は、
\begin{equation}
\langle A(x), B(x) \rangle = \int_a^b \overline{A(x)} B(x) \, dx
\end{equation}と定義します。式中のオーバーラインは、複素共役(共軛)を意味します。
共軛複素数 - 数式で独楽する

本稿では、複素数値関数の内積とベクトルの内積を比較していきます。
ベクトルの内積 - 数式で独楽する
 関数の内積 - 数式で独楽する

$n$ 次元のベクトル $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ を
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{A} &=& A_1 \boldsymbol{x}_1 + A_2 \boldsymbol{x}_2 +\cdots + A_n \boldsymbol{x}_n \\
\boldsymbol{B} &=& B_1 \boldsymbol{x}_1 + B_2 \boldsymbol{x}_2 +\cdots + B_n \boldsymbol{x}_n
\end{eqnarray}とします。ここで $\boldsymbol{x}_1, \boldsymbol{x}_2, \cdots , \boldsymbol{x}_n$ は $n$ 次元の単位ベクトルで、互いに直交します。

このとき、ベクトルの内積 $\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B}$ の定義は
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} &=& \boldsymbol{A}^* \boldsymbol{B} \\
&=& \overline{A_1} B_1 + \overline{A_2} B_2 + \cdots + \overline{A_n} B_n \\
&=& \sum_{i=1}^n \overline{A_i } B_i \tag{1}
\end{eqnarray}です。こちらも、片方の複素共役をとっています。
式中の「*」は共軛転置(随伴)で、ベクトルは列で記述しています。
転置行列と随伴行列 - 数式で独楽する

一方、関数 $\overline{A(x)}, B(x)$ の積の積分は、
\begin{eqnarray}
\int_a^b \overline{A(x)} B(x) \, dx &=& \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \overline{A(x_i)} B(x_i) \Delta x \tag{2} \\
\Delta x &=& \frac{b -a}{n}
\end{eqnarray}です。

式(1)において、 $n = 1, 2, \cdots, n$ に対し
\begin{eqnarray}
\overline{A_i} & \to & \overline{A(x_i)} \\
B_i & \to & B(x_i)
\end{eqnarray}と対応させ、 $\Delta x$ を乗じて $n \to \infty$ とすると、式(2)となります。