2005年後期京大理系第3問 - 数式で独楽する

2次元ベクトル $A_n \ (n = 1,2,3, \cdots)$ が
\begin{eqnarray}
A_1 &=& \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) , \\
A_2 &=& \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right) , \\
A_{n +2} &=& \left( \begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1& -1 \end{array} \right) \, A_{n +1} +\left( \begin{array}{rr} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \, A_n \quad (n = 1,2,3, \cdots)
\end{eqnarray}を満たすとき、 $A_n$ を求めよ。

解答例
解説

解答例

\begin{equation}
A_n = \left( \begin{array}{c} x_n \\ y_n \end{array} \right)
\end{equation}とすると、以下が成り立ちます。
\begin{eqnarray}
x_1 = 2, & \quad y_1 = 1 \\
x_2 = 3, & \quad y_2 = 1
\end{eqnarray}\begin{eqnarray}
x_{n +2} &=& x_{n +1} +y_{n +1} -y_n \\
y_{n +2} &=& x_{n +1} -y_{n +1} +x_n
\end{eqnarray}
これらより、
\begin{eqnarray}
x_{n +2} -y_{n +1} &=& x_{n +1} -y_n \\
& \vdots & \\
&=& x_2 -y_1 \\
&=& 2 \tag{1} \\
y_{n +2} -x_{n +1} &=& -y_{n +1} +x_n \\
& \vdots & \\
&=& (-1)^n (y_2 -x_1) \\
&=& (-1)^{n +1} \tag{2} \\
\end{eqnarray}を得ます。

式(1), (2)より、自然数 $k$ について
\begin{eqnarray}
x_{2k +1} -y_{2k} &=& 2 \tag{3} \\
y_{2k} -x_{2k -1} &=& -1 \tag{4} \\
x_{2k +2} -y_{2k +1} &=& 2 \tag{5} \\
y_{2k +1} -x_{2k} &=& 1 \tag{6}
\end{eqnarray}が成り立ちます。

式(3), (4)より、
\begin{eqnarray}
x_{2k +1} -x_{2k -1} &=& 1 \\
\therefore \quad x_{2k +1} &=& x_1 +k = k +2 \tag{7} \\
y_{2k} &=& k \tag{8}
\end{eqnarray}を得ます。また、式(5), (6)より、
\begin{eqnarray}
x_{2k+2} -x_{2k} &=& 3 \\
\therefore \quad x_{2k +2} &=& x_2 +3k = 3k +3 \tag{9} \\
y_{2k +1} &=& 3k +1 \tag{10}
\end{eqnarray}を得ます。式(10)は $k = 0$ としても成り立ちます。

したがって、式(7)～(10)より、
\begin{eqnarray}
A_{2k -1} &=& \left( \begin{array}{r} k +1 \\ 3k -2 \end{array} \right) \\
A_{2k} &=& \left( \begin{array}{r} 3k \\ k \end{array} \right)
\end{eqnarray}となります。

まとめると、次の通りです。
$n$ が奇数の場合
\begin{equation}
A_n = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{n +3}{2} \\ \displaystyle \frac{3n -1}{2} \end{array} \right)
\end{equation}
$n$ が偶数の場合
\begin{equation}
A_n = \left( \begin{array}{c} \displaystyle \frac{3n}{2} \\ \displaystyle \frac{n}{2} \end{array} \right)
\end{equation}