2002年前期京大理系第1問 - 数式で独楽する

数列 $\{ a_n \}$ の初項 $a_1$ から第 $n$ 項までの和を $S_n$
で表す。この数列が $a_1 = 1, \ \displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n = 1, \ n(n -2) a_{n +1} = S_n \ (n \geqq 1)$ を満たすとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

解答例
解説

解答例

\begin{eqnarray}
n(n -2) \, a_{n +1} &=& S_n \tag{1} \\
(n -1)(n -3) \, a_n &=& S_{n -1} \tag{2}
\end{eqnarray}式(1), (2)を辺々相引いて
\begin{eqnarray}
n(n -2) \, a_{n +1} -(n -1)(n -3) \, a_n &=& a_n \\
\therefore \quad n(n -2) \, a_{n +1} &=& (n -2)^2 \, a_n
\end{eqnarray}を得ます。
$n \geqq 3$ で
\begin{equation}
n \, a_{n +1} = (n -2) \, a_n \tag{3}
\end{equation}となります。

$n \geqq 4$ で式(3)を再帰的に用いると
\begin{eqnarray}
a_n &=& \frac{n -3}{n -1} \cdot \frac{n -4}{n -2} \cdot \frac{n -5}{n -3} \cdot \cdots \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} \, a_3 \\
&=& \frac{2a_3}{(n -1)(n -2)} \\
&=& 2a_3 \left( \frac{1}{n -2} -\frac{1}{n -1} \right) \tag{4}
\end{eqnarray}を得ます。*1

さて、式(1)で $n = 1$ とすると、
\begin{eqnarray}
-a_2 &=& a_1 = 1 \\
\therefore \quad a_2 &=& -1
\end{eqnarray}が得られます。
また、式(4)により
\begin{eqnarray}
S_n &=& a_1 +a_2 +a_3 +a_4 +a_5 +\cdots +a_n \\
&=& 1 -1 +a_3 \left \{ 1 +2 \left( \frac{1}{2} -\frac{1}{3} \right) +2 \left( \frac{1}{3} -\frac{1}{4} \right) +\cdots +2 \left( \frac{1}{n -2} -\frac{1}{n -1} \right) \right \} \\
&=& a_3 \left( 2 -\frac{2}{n -1} \right) \tag{5}
\end{eqnarray}です。

与えられた条件と式(5)より、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} S_n = 2a_3 =1
\end{equation}なので、
\begin{equation}
a_3 = \frac{1}{2}
\end{equation}となります。
これを式(4)に返して
\begin{equation}
a_n = \frac{1}{n -2} -\frac{1}{n -2}
\end{equation}を得ます。

以上より、一般項は
\begin{eqnarray}
a_1 &=& 1 \\
a_2 &=& -1 \\
a_n &=& \frac{1}{n -2} -\frac{1}{n -2}
\end{eqnarray}です。

解説

和と一般項の当たり前の関係
\begin{equation}
S_n = S_{n -1} +a_n
\end{equation}を利用して、 $S_n$ を消去します。
途中、0で割ることはできないので注意が必要です。
途中の項が残る変則的な形です。
文系にも類似の問題が出されています。
2002年前期京大文系第1問 - 数式で独楽する

*1:式(3)を \begin{equation} n(n -1) \, a_{n +1} = (n -1)(n -2) \, a_n \end{equation}として、 \begin{equation} (n -1)(n -2) \, a_n = (n -2)(n -3) \, a_{n -1} = \cdots = 2 \cdot 1 \,a_3 \end{equation}としても式(4)を導くことができます。