関数は、周期が
の周期関数とします。
\begin{equation}
f(x +2L) = f(x)
\end{equation}とします。
\begin{equation}
f(x) = \sum_{n= -\infty}^\infty c_n \exp \frac{in\pi x}{L}
\end{equation}と展開できるものとします。
このとき、
\begin{equation}
c_n = \frac{1}{2L} \int_{-L}^L f(x) \exp \frac{in \pi x}{L}\, dx
\end{equation}が成り立ちます。
ここで、
\begin{equation}
\exp x = e^x
\end{equation}です。
なお、
\begin{eqnarray}
f(x) &=& \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos \frac{n\pi x}{L} +b_n \sin \frac{n \pi x}{L} \right) \tag{1} \\
\\
a_n &=& \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) \cos \frac{n \pi x}{L} \, dx \tag{2} \\
b_n &=& \frac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) \sin \frac{n \pi x}{L} \, dx \tag{3}
\end{eqnarray}と展開できているものとします。
フーリエ級数 - 数式で独楽する
フーリエ係数 - 数式で独楽する
式(1)で、
\begin{eqnarray}
\cos \theta &=& \frac{e^{i \theta} +e^{-i \theta}}{2} \\
\sin \theta &=& \frac{e^{i \theta} -e^{-i \theta}}{2i}
\end{eqnarray}とすると、
指数関数と三角関数の関係 - 数式で独楽する
\begin{equation}
f(x) = \frac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^\infty \left \{ \frac{a_n -i \, b_n}{2} \, \exp \left( \frac{in\pi x}{L} \right) +\frac{a_n +i \, b_n}{2}\, \exp \left( - \frac{in \pi x}{L} \right) \right \}
\end{equation}
ここで
\begin{eqnarray}
c_0 &=& \frac{a_0}{2} \tag{4} \\
c_n &=& \frac{a_n -i \, b_n}{2} \tag{5}\\
c_{-n} &=& \frac{a_n +i \, b_n}{2} \tag{6}
\end{eqnarray}とすると、
\begin{equation}
f(x) = \sum_{n= -\infty}^\infty c_n \exp \frac{in\pi x}{L}
\end{equation}となります。
このとき、式(2)~(6)より
\begin{eqnarray}
c_n = \frac{a_n -i \, b_n}{2}
&=& \frac{1}{2L} \int_{-L}^L f(x) \left( \cos \frac{n \pi x}{L} +i \, \sin \frac{n \pi x}{L} \right) \, dx \\
&=& \frac{1}{2L} \int_{-L}^L f(x) \exp \frac{in \pi x}{L} \, dx \\
c_{-n} = \frac{a_n +i \, b_n}{2}
&=& \frac{1}{2L} \int_{-L}^L f(x) \left( \cos \frac{n \pi x}{L} -i \, \sin \frac{n \pi x}{L} \right) \, dx \\
&=& \frac{1}{2L} \int_{-L}^L f(x) \exp \left( -\frac{in \pi x}{L} \right) \, dx \\
\end{eqnarray}となります。
指数関数の級数展開とオイラーの公式 - 数式で独楽する
さて、冒頭の式は、「周期関数は複素数の指数関数の和で表せる」という主張です。
時間的に複雑に変化する波が、周期の逆数の倍数で記述できるようになり、解析が容易になるという利点が出てきます。
