以下の問いに答えよ。

を3以上の素数とする。また、を実数とする。(1) とをの式として表せ。

を2以上の整数とする。実数に対し、とおく。について不等式が成り立っているとする。のとき、すべてのについてが成り立つことを示せ。

未知数に関する方程式が虚軸上の複素数解を持つような実数をすべて求めよ。

未知数に関する方程式が虚軸上の複素数解を持つような実数をすべて求めよ。

数列を \begin{equation} a_{n +1} = {a_n}^2 +2{b_n}^2, \ \ b_{n +1} = 2a_n b_n \quad (n \geqq 1) \end{equation}で定める。

数列を \begin{equation} a_{n +1} = {a_n}^2 +2{b_n}^2, \ \ b_{n +1} = 2a_n b_n \quad (n \geqq 1) \end{equation}で定める。

はの係数が1であるの次式である。相異なる個の有理数に対してがすべて有理数であれば、の係数はすべて有理数であることを、数学的帰納法を用いて示せ。

を正の数からなる数列とし、を正の実数とする。このとき、をみたす番号が存在することを証明せよ。

三角形ABCと点Pに対して、次の2つの条件は同値であることを証明せよ。

とする。次の(*)が成り立つためのについての必要十分条件を求めよ。

とする。空間内において、原点Oと点Pを結ぶ線分を、軸のまわりに回転させてできる容器がある。

tan 1°は有理数か。

を互いに素、すなわち1以外の公約数をもたない正の整数とし、さらには奇数とする。

を互いに素、すなわち1以外の公約数をもたない正の整数とし、さらには奇数とする。

複素数および実数が、次の3条件をみたしながら動く。

複素数および実数が、次の3条件をみたしながら動く。

複素数および実数が、次の3条件をみたしながら動く。

平面上の鋭角三角形△ABCの内部(辺や頂点は含まない)に点Pをとり、A'をB, C, Pを通る円の中心、B'をC, A, Pを通る円の中心、C'をA, B, Pを通る円の中心とする。このとき A, B, C, A', B', C'が同一円周上にあるための必要十分条件はPが△ABCの内心に一致するこ…

平面上の鋭角三角形△ABCの内部(辺や頂点は含まない)に点Pをとり、A'をB, C, Pを通る円の中心、B'をC, A, Pを通る円の中心、C'をA, B, Pを通る円の中心とする。このとき A, B, C, A', B', C'が同一円周上にあるための必要十分条件はPが△ABCの内心に一致するこ…

平面上の鋭角三角形△ABCの内部(辺や頂点は含まない)に点Pをとり、A'をB, C, Pを通る円の中心、B'をC, A, Pを通る円の中心、C'をA, B, Pを通る円の中心とする。このとき A, B, C, A', B', C'が同一円周上にあるための必要十分条件はPが△ABCの内心に一致するこ…

空間でO(0, 0, 0), A(3, 0, 0), B(3, 2, 0), C(0, 2, 0), D(0, 0, 4), E(3, 0, 4), (3, 0, 4), F(3, 2, 4), G(0, 2, 4)を頂点とする直方体OABC-DEFGを考える。辺AEをに内分する点をP、辺CGをに内分する点をQとおく。ただし、とする。Dを通り、O, P, Qを含む…

次の問いに答えよ。(1) を正の整数、とする。はで割り切れるがで割り切れないことを示せ。(2) を正の偶数とする。がで割り切れるならばまたはであることを示せ。

次の問いに答えよ。(1) を正の整数、とする。はで割り切れるがで割り切れないことを示せ。(2) を正の偶数とする。がで割り切れるならばまたはであることを示せ。

次の問いに答えよ。(1) を正の整数、とする。はで割り切れるがで割り切れないことを示せ。(2) を正の偶数とする。がで割り切れるならばまたはであることを示せ。

は2以上の整数であり、であるとき、不等式 \begin{equation} (1 -a_1)(1 -a_2) \cdots (1 -a_n) > 1 -\left(a_1 +\frac{a_2}{2} +\cdots +\frac{a_n}{2^{n -1}} \right) \end{equation}が成立することを示せ。

無理数と0でない有理数の和は、無理数です。

無理数と有理数の和は、無理数です。

(1) が無理数であることを証明せよ。(2) は有理数を係数とするの多項式で、を満たしているとする。このときはで割り切れることを示せ。

本稿では、が無理数であることの証明を紹介します。