\begin{equation}
{}_n C_0 +{}_n C_2 +{}_n C_4 +\cdots = {}_n C_1 +{}_n C_3 +{}_n C_5 +\cdots = 2^{n -1}
\end{equation}
二項係数の1つおきの和も2のべき乗(冪乗)となる、というものです。
ただし、総和の半分です。
二項定理の交項の和は0です。
\begin{equation}
\sum_{r = 0}^n (-1)^r {}_n C_r = {}_n C_0 -{}_n C_1 +{}_n C_2 -{}_n C_3 +
\cdots +{}_n C_n = 0
\end{equation}
交項の二項係数の和 - 数式で独楽する
一方、
\begin{equation}
{}_n C_0 +{}_n C_1 +{}_n C_2 +\cdots +{}_n C_n = 2^n
\end{equation}でもあるので、
二項係数の和 - 数式で独楽する
\begin{equation}
{}_n C_0 +{}_n C_2 +{}_n C_4 +\cdots = {}_n C_1 +{}_n C_3 +{}_n C_5 +\cdots = 2^{n -1}
\end{equation}を得ます。
