二項係数の性質 - 数式で独楽する

二項係数の性質をまとめます。

対称性

二項係数の対称性 - 数式で独楽する
\begin{equation}
{}_n C_r = {}_n C_{n -r}
\end{equation}

2連続の和

2連続の二項係数の和 - 数式で独楽する
 2連続の二項係数の和その2 - 数式で独楽する
\begin{equation}
{}_n C_r = +{}_{n -1} C_r +{}_{n -1} C_{r -1}
\end{equation}

パスカルの三角形

パスカルの三角形 - 数式で独楽する

二項定理

二項定理 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
(a+b)^n &=& \sum_{r=0}^n {}_n C_r a^{n-r} b^r \\
&=& {}_n C_0 a^n+{}_n C_1 a^{n-1} b+{}_n C_2 a^{n-2} b^2+\cdots +{}_n C_n b^n
\end{eqnarray}

和

二項係数の和 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\sum_{r = 0}^n {}_n C_r = {}_n C_0 +{}_n C_1 +{}_n C_2 +\cdots +{}_n C_n = 2^n
\end{equation}

交項の和

交項の二項係数の和 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\sum_{r = 0}^n (-1)^r {}_n C_r = {}_n C_0 -{}_n C_1 +{}_n C_2 -{}_n C_3+\cdots = 0
\end{equation}

1つおきの和

二項係数の1つおきの和 - 数式で独楽する
\begin{equation}
{}_n C_0 +{}_n C_2 +{}_n C_4 +\cdots = {}_n C_1 +{}_n C_3 +{}_n C_5 +\cdots = 2^{n -1}
\end{equation}

整数との積の和

「二項係数と整数の積」の和 - 数式で独楽する
\begin{equation}
{}_n C_1 +2 \, {}_n C_2 +\cdots +n \, {}_n C_n = n \cdot 2^{n -1}
\end{equation}

交項の整数との積の和

交項の「二項係数と整数の積」の和 - 数式で独楽する
\begin{equation}
{}_n C_1 -2 \, {}_n C_2 +\cdots +(-1)^{n -1} n \, {}_n C_n = 0
\end{equation}

整数で割った商の和

「二項係数割る整数」の和 - 数式で独楽する
\begin{equation}
{}_n C_0 +\frac{{}_n C_1}{2} +\cdots +\frac{{}_n C_n}{n +1} = \frac{2^{n +1} -1}{n +1}
\end{equation}

交項の整数で割った商の和

交項の「二項係数割る整数」の和 - 数式で独楽する
\begin{equation}
{}_n C_0 -\frac{{}_n C_1}{2} +\cdots +\frac{(-1)^n \, {}_n C_n}{n +1} = \frac{1}{n +1}
\end{equation}

平方和

二項係数の平方和 - 数式で独楽する
\begin{equation}
{{}_n C_0}^2 +{{}_n C_1}^2 +{{}_n C_2 }^2 +\cdots +{{}_n C_n}^2 = \frac{(2n)!}{(n!)^2}
\end{equation}