\begin{equation}
{}_n C_0 +{}_n C_1 +{}_n C_2 +\cdots +{}_n C_n = 2^n
\end{equation}
二項係数の和は2のべき乗(冪乗)となる、というものです。
二項定理
二項定理 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
(a+b)^n &=& \sum_{r=0}^n {}_n C_r a^{n-r} b^r \\
&=& {}_n C_0 a^n+{}_n C_1 a^{n-1} b+{}_n C_2 a^{n-2} b^2+\cdots +{}_n C_n b^n
\end{eqnarray}において
\begin{equation}
a = b = 1
\end{equation}とすると
\begin{equation}
\sum_{r = 0}^n {}_n C_r = {}_n C_0 +{}_n C_1 +{}_n C_2 +\cdots +{}_n C_n = 2^n
\end{equation}を得ます。
