\begin{equation}
\sum_{r = 0}^n (-1)^r {}_n C_r = {}_n C_0 -{}_n C_1 +{}_n C_2 -{}_n C_3+\cdots = 0
\end{equation}
「交項」とは、正負が交互に現れる、ということです。「交番」ともいいます。
二項係数の交項の和は0となる、というものです。
二項定理
二項定理 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
(a+b)^n &=& \sum_{r=0}^n {}_n C_r a^{n-r} b^r \\
&=& {}_n C_0 a^n+{}_n C_1 a^{n-1} b+{}_n C_2 a^{n-2} b^2+\cdots +{}_n C_n b^n
\end{eqnarray}において
\begin{eqnarray}
a &=& 1 \\
b &=& -1
\end{eqnarray}とすると
\begin{equation}
\sum_{r = 0}^n (-1)^r {}_n C_r = {}_n C_0 -{}_n C_1 +{}_n C_2 -{}_n C_3 +
\cdots +(-1)^n {}_n C_n = 0
\end{equation}を得ます。
