\begin{equation}
{}_n C_1 -2 \, {}_n C_2 +\cdots +(-1)^{n -1} n \, {}_n C_n = 0
\end{equation}
交項の「二項係数と整数の積」の和は0となる、というものです。
二項定理
二項定理 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
(a+b)^n &=& \sum_{r=0}^n {}_n C_r \, a^{n-r} b^r \\
&=& {}_n C_0 a^n+{}_n C_1 \, a^{n-1} b+{}_n C_2 \, a^{n-2} b^2+\cdots +{}_n C_n \, b^n
\end{eqnarray}において
\begin{eqnarray}
a &=& 1 \\
b &=& x
\end{eqnarray}とすると
\begin{equation}
(1 +x)^n = {}_n C_0 +{}_n C_1 \, x +{}_n C_2 \, x^2 +\cdots +{}_n C_n \, x^n \tag{1}
\end{equation}となります。
式(1)の両辺を微分します。
\begin{equation}
n(1 +x)^{n -1} = {}_n C_1 +2 \, {}_n C_2 \, x +\cdots +n \, {}_n C_n \, x^{n -1}
\end{equation}
ここでとすると、
\begin{equation}
{}_n C_1 -2 \, {}_n C_2 +\cdots +(-1)^{n -1} n \, {}_n C_n = 0
\end{equation}を得ます。
