二項定理

この記事では、
(1+x)n乗の近似 - 数式で独楽する
で用いていた二項定理について述べていきます。

二項定理とは、

• 2つの項からなる式の冪乗についての定理

です。

式で書くと、
\begin{eqnarray}
(a+b)^n &=& \sum_{r=0}^n {}_n C_r \, a^{n-r} b^r \\
&=& {}_n C_0 \, a^n+{}_n C_1 \, a^{n-1} b+{}_n C_2 \, a^{n-2} b^2+\cdots +{}_n C_n \, b^n
\end{eqnarray}
となります。
式はについて降冪の順で書いています。
「降冪の順」は、次数が低くなっていく順です。

係数が出てくる順序を逆にしても関係は変わりません。
\begin{eqnarray}
(a+b)^n &=& \sum_{r=0}^n {}_n C_{n-r} \, a^{n-r} b^r \\
&=& {}_n C_n \, a^n+{}_n C_{n-1} \, a^{n-1} b+{}_n C_{n-2} \, a^{n-2} b^2+\cdots +{}_n C_0 \, b^n
\end{eqnarray}

昇冪の順としても関係は同じです。
「昇冪の順」は、次数が高くなっていく順です。
\begin{eqnarray}
(a+b)^n &=& \sum_{r=0}^n {}_n C_r \, a^r b^{n-r} \\
&=& {}_n C_0 \, b^n+{}_n C_1 \, ab^{n-1}+{}_n C_2 \, a^2 b^{n-2}+\cdots +{}_n C_0 \, a^n
\end{eqnarray}

\begin{eqnarray}
(a+b)^n &=& \sum_{r=0}^n {}_n C_{n-r} \, a^r b^{n-r} \\
&=& {}_n C_n \, b^n+{}_n C_{n-1} \, ab^{n-1}+{}_n C_{n-2} \, a^2 b^{n-2}+\cdots +{}_n C_n \, a^n
\end{eqnarray}

では、
\begin{equation}
(a+b)^n
\end{equation}を展開してみましょう。

\begin{equation}
(a+b)^n=\underbrace{(a+b)(a+b)\cdots (a+b)}_{n個}
\end{equation}
上の式を展開すると、

• 個あるの各々についてかのどちらか一方を選び、
• 全てのパターンを並べる

こととなります。

ここで、が出てくる回数を考えます。
言い換えると、

• 個あるの中からを個、を個取り出す

ということになります。

出てくる回数は、

• 個の中から個を取り出し、
• 取り出した個は全て同じなので順序は考慮されず、
• 残った物は全てなのでを取り出した後のの取り出し方は1通り

となります。

つまり、

• 個の中から個を取り出す組合せ

すなわち、
\begin{equation}
{}_n C_r
\end{equation}に等しくなります。

くどいですが、
\begin{equation}
a^{n-r}b^nは{}_n C_r \mbox{回出てくる}
\end{equation}ということです。

を展開した式の各項は、
\begin{equation}
{}_n C_r a^{n-r} b^r \ (r=0,1,\cdots ,n)
\end{equation}となります。

つまり、
\begin{eqnarray}
(a+b)^n &=& \sum_{r=0}^n {}_n C_r \, a^{n-r} b^r \\
&=& {}_n C_0 \, a^n+{}_n C_1 \, a^{n-1} b+{}_n C_2 \, a^{n-2} b^2+\cdots +{}_n C_n \, b^n
\end{eqnarray}
となります。

他の形でも考え方は同じなので省略します。