2004年前期京大理系第3問 - 数式で独楽する

$n$ を2以上の自然数とする。 $x^{2n}$ を $\displaystyle x^2 -x +\frac{n -1}{n^2}$ で割った余りを $a_n x +b_n$ とする。すなわち、 $x$ の多項式 $P_n (x)$ があって
\begin{equation}
x^{2n} = P_n (x) \left( x^2 -x +\frac{n -1}{n^2} \right) +a_n x +b_n
\end{equation}が成り立っているとする。 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n, \ \lim_{n \to \infty} b_n$ を求めよ。

解答例
解説

解答例

与えられた式は
\begin{equation}
x^{2n} = P_n (x) \left( x -\frac{1}{n} \right) \left( x -1 +\frac{1}{n} \right) +a_n x +b_n
\end{equation}と変形できます。
$\displaystyle x = \frac{1}{n}, \ 1 -\frac{1}{n}$ を代入して、
\begin{eqnarray}
\frac{1}{n} \, a_n +b_n &=& \left( \frac{1}{n} \right)^{2n} \tag{1} \\
\left( 1 -\frac{1}{n} \right) \, a_n +b_n &=& \left( 1 -\frac{1}{n} \right)^{2n} \tag{2}
\end{eqnarray}を得ます。
式(1), (2)より、
\begin{eqnarray}
\left( 1 -\frac{2}{n} \right) \, a_n &=& \left( 1 -\frac{1}{n} \right)^{2n} -\left( \frac{1}{n} \right)^{2n} \\
\therefore \quad a_n &=& \cfrac{\left( 1 -\cfrac{1}{n} \right)^{2n} -\left( \cfrac{1}{n} \right)^{2n}}{1 -\cfrac{2}{n}} \\
b_n &=& \left( \frac{1}{n} \right)^{2n} -\frac{1}{n} \, a_n
\end{eqnarray}となります。

ここで、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \left( 1 -\frac{1}{n} \right)^{2n} = e^{-2}
\end{equation}なので、求める極限は次の通りとなります。
\begin{eqnarray}
\lim_{n \to \infty} a_n &=& \frac{1}{e^2} \\
\lim_{n \to \infty} b_n &=& 0
\end{eqnarray}
ネイピア数関連の極限と指数関数 - 数式で独楽する