2×2行列
の逆行列は、
\begin{equation}
A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \left( \begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a \end{array} \right)
\end{equation}です。
2×2行列であれば、逆行列を求めるのは容易です。
2×2行列の逆行列 - 数式で独楽する
正方行列$A$の逆行列
\begin{equation}
A^{-1} = \frac{1}{\det A} \left( \begin{array}{cccc}
C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\
C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn}
\end{array} \right)
\end{equation}
ここで$C_{ij}$は、行列$A$から第$i$行と第$j$列を除いて作った行列の行列式で、「余因子」といいます。
また、逆行列が存在するための条件は、
\begin{equation}
\det A \ne 0
\end{equation}です。
を用いても、意外と容易です。
まず、
\begin{equation}
\mathrm{det} A = ad - bc
\end{equation}です。
行列式 - 数式で独楽する
余因子は次のようになります。
\begin{eqnarray}
C_{11} &=& d \\
C_{12} &=& -c \\
C_{21} &=& -b \\
C_{22} &=& a
\end{eqnarray}
行列式の性質 余因子展開 - 数式で独楽する
よって、逆行列は、
\begin{eqnarray}
A^{-1} &=& \frac{1}{\det A} \left( \begin{array}{cc}
C_{11} & C_{21} \\
C_{12} & C_{22}
\end{array} \right) \\
&=& \frac{1}{ad - bc} \left( \begin{array}{rr} d & -b \\ -c & a \end{array} \right)
\end{eqnarray}となります。
