2004年前期京大文系第4問 - 数式で独楽する

$c$ を実数とする。 $x$ についての2次方程式 $x^2 +(3 -2c)x +c^2 +5 = 0$ が2つの解 $\alpha, \beta$ をもつとする。複素平面上3点 $\alpha, \beta, c^2$ が三角形の3頂点となり、その三角形の重心は0であるという。 $c$ を求めよ。

解答例
解説

解答例

3点 $\alpha, \beta, c^2$ が三角形をなすので、与えられた方程式は実数解を持ちません。
判別式について、
\begin{eqnarray}
D &=& (3 -2c)^2 -4(c^2 +5) \\
&=& 9 -12c +4c^2 -4c^2 -20 \\
&=& -12c -11 < 0
\end{eqnarray}です。
これより
\begin{equation}
c > -\frac{11}{12} \tag{1}
\end{equation}なる条件を得ます。

一方、解と係数の関係から、
解と係数の関係 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\alpha +\beta = 2c -3
\end{equation}が成り立っています。
\begin{equation}
\alpha +\beta +c^2 = 0
\end{equation}なので、
\begin{equation}
c^2 +2c -3 = 0
\end{equation}を得ます。
これを解くと
\begin{eqnarray}
(c -1)(c +3) &=& 0 \\
\therefore \quad c &=& 1, -3
\end{eqnarray}となります。

式(1)の条件により、求める $c$ は
\begin{equation}
c = 1
\end{equation}です。

なお、このとき
\begin{equation}
\alpha, \beta = \frac{-1 \pm \sqrt{23} \, i}{2}
\end{equation}で、 $\alpha, \beta, c^2$ は三角形をなしています。