東大 2019年理科第6問その1 - 数式で独楽する

複素数 $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ および実数 $a,b$ が、次の3条件をみたしながら動く。
条件1: $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ は相異なる。
条件2: $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ は4次方程式 $z^4 -2z^3 -2az +b =0$ の解である。
条件3: 複素数 $\alpha \beta +\gamma \delta$ の実部は0であり、虚部は0ではない。
(1) $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ のうち、ちょうど2つが実数であり、残りの2つは互いに共役な複素数であることを示せ。
(2) $b$ を $a$ で表せ。
(3) 複素数 $\alpha +\beta$ がとりうる範囲を複素数平面上に示せ。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
小問(3)の解答例
解説

小問(1)の解答例

$z^4 -2z^3 -az +b =0$ の係数は全て実数なので、解の組み合わせは次の通りです。

全て実数
2つが実数、1組の共軛複素数
2組の共軛複素数

代数方程式と共軛複素数 - 数式で独楽する

1項の場合

すなわち $\alpha, \beta, \gamma, \delta \in \mathbb{R}$ の場合、
\begin{equation}
\alpha \beta +\gamma \delta \in \mathbb{R}
\end{equation}なので、条件3を満たしません。

3項の場合

すなわち $\alpha, \beta, \gamma, \delta \not \in \mathbb{R}$ の場合です。
a. $\beta = \bar{\alpha}, \ \delta = \bar{\gamma}$ の場合
\begin{eqnarray}
\alpha \beta +\gamma \delta &=& \alpha \bar{\alpha} +\gamma \bar{\gamma} \\
&=& |\alpha|^2 +|\gamma|^2 \in \mathbb{R}
\end{eqnarray}なので、条件3を満たしません。
共軛複素数その2 - 数式で独楽する

b. $\gamma = \bar{\alpha}, \ \delta = \bar{\beta}$ の場合
\begin{eqnarray}
\alpha \beta +\gamma \delta &=& \alpha \beta +\bar{\alpha} \bar{\beta} \\
&=& \alpha \beta +\overline{\alpha \beta} \in \mathbb{R}
\end{eqnarray}なので、条件3を満たしません。
共軛複素数 - 数式で独楽する

2項の場合

a. $\alpha, \beta \in \mathbb{R}, \ \gamma, \delta \not \in \mathbb{R}$ の場合
$\delta = \bar{\gamma}$ なので、
\begin{eqnarray}
\alpha \beta +\gamma \delta &=& \alpha \beta +\gamma \bar{\gamma} \\
&=& \alpha \beta +|\gamma|^2 \in \mathbb{R}
\end{eqnarray}となります。これは条件3を満たしません。
共軛複素数その2 - 数式で独楽する

b. $\beta, \gamma \in \mathbb{R}, \ \alpha, \delta \not \in \mathbb{R}$ の場合
$\delta =\bar{\alpha}$ なので
\begin{eqnarray}
\alpha &=& s +it \\
\delta &=& s -it \quad (s,t \in \mathbb{R})
\end{eqnarray}とすると、
\begin{eqnarray}
\alpha \beta +\gamma \delta &=& (s +it)\beta +\gamma(s -it) \\
&=& s(\beta +\gamma) +it(\beta -\gamma)
\end{eqnarray}となります。
条件1より $\beta \ne \gamma$ なので、以下の2項目を同時に満たせば条件3が成立します。