を
を満たす行列とする(
は実数)。自然数
に対して平面上の点
を
\begin{equation}
\left( \begin{array}{cc} x_n \\ y_n \end{array} \right) = A^n \left( \begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array} \right)
\end{equation}により定める。と
の長さが1のとき、すべての
の長さが1であることを示せ。ここでOは原点である。
解答例
続きです。
京大 2009年 理系 第4問 その1 - 数式で独楽する
(i) の場合
より
\begin{equation}
a^2 -bc = 1
\end{equation}となります。式(1)を用いると、
\begin{eqnarray}
c^2 +bc &=& 0 \\
c(b +c) &=& 0
\end{eqnarray}なので
\begin{equation}
c=0 \quad \mbox{または} \quad b +c =0
\end{equation}を得ます。
a. の場合
\begin{equation}
a = d = \pm 1
\end{equation}なので
\begin{equation}
A = \left( \begin{array}{rr}
\pm 1 & b \\
0 & \pm 1
\end{array} \right)
\end{equation}となります。これより、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OP}_1} &=& A \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{rr}
\pm 1 & b \\
0 & \pm 1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)
= \left( \begin{array}{r} \pm 1 \\ 0 \end{array} \right) \\
\overrightarrow{\mathrm{OP}_2} &=& A \left( \begin{array}{r} \pm 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)
\end{eqnarray}となります。
したがって、自然数に対し
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OP}_{2k -1}} &=& \left( \begin{array}{r} \pm 1 \\ 0 \end{array} \right) \\
\overrightarrow{\mathrm{OP}_{2k}} &=& \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)
\end{eqnarray}を得ます。
したがって、全てのに対し
の長さは1となります。
b. の場合
式(1)より
\begin{eqnarray}
a &=& \cos \theta \\
c &=& \sin \theta
\end{eqnarray}とすると
\begin{eqnarray}
b &=&-& \sin \theta \\
d &=&& \cos \theta
\end{eqnarray}となります。
これは、行列が原点まわりに
回転させる回転行列であることを示します。
したがって、全てのに対し
の長さが1となります。
