2003年前期京大理系第2問 - 数式で独楽する

$f(x) = x \sin x \ \ (x \geqq 0)$ とする。点 $\displaystyle \left( \frac{\pi}{2}, \ \frac{\pi}{2} \right)$ における $y = f(x)$ の法線と、 $y = f(x)$ のグラフの $\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$ の部分、および $y$ 軸で囲まれる図形を考える。この図形を $x$ 軸のまわりに回転して得られる回転体の体積を求めよ。

解答例
解説

解答例

\begin{eqnarray}
f'(x) &=& \sin x +x \cos x \\
f' \left( \frac{\pi}{2} \right) &=& 1
\end{eqnarray}なので、点 $\displaystyle \left( \frac{\pi}{2}, \ \frac{\pi}{2} \right)$ における $y = f(x)$ の法線は、
\begin{equation}
y = -\left( x -\frac{\pi}{2} \right) +\frac{\pi}{2}
\end{equation}つまり
\begin{equation}
y = -x +\pi
\end{equation}となります。

よって、求める体積 $V$ は、
\begin{eqnarray}
V &=& \pi \int_0^{\pi/2} \left \{ (-x +\pi)^2 -x^2 \sin^2 x \right \} \, dx \\
&=& \pi \int_0^{\pi/2} (x^2 -2\pi x \pi^2 -x^2 \sin^2 x) \, dx \\
&=& \pi \int_0^{\pi/2} (-2\pi x +\pi^2 +x^2 \cos^2 x) \, dx \\
&=& \pi \int_0^{\pi/2} \left \{ -2\pi x +\pi^2 +\frac{x^2 (1 +\cos 2x)}{2} \right \} \, dx \\
&=& \pi \left[ \frac{x^3}{6} -\pi x^2 +\pi^2 x \right]_0^{\pi/2} +\frac{\pi}{4} \biggl[ x^2 \sin 2x \biggr]_0^{\pi/2} -\frac{\pi}{2} \int_0^{\pi/2} x \sin 2x \, dx \\
&=& \pi \left( \frac{\pi^3}{48} -\frac{\pi^3}{4} +\frac{\pi^3}{2} \right) +0 +\frac{\pi}{4} \biggl[ x \cos 2x \biggr]_0^{\pi/2} -\frac{\pi}{2} \int_0^{\pi/2} \cos 2x \, dx \\
&=& \frac{13}{48} \, \pi^3 -\frac{1}{8} \, \pi^2 -\frac{\pi}{4} \biggl[ \sin 2x \biggr]_0^{\pi/2} \\
&=& \frac{13}{48} \, \pi^3 -\frac{1}{8} \, \pi^2
\end{eqnarray}となります。