(1) 正の整数
に対し、
\begin{equation}
A_k = \int_\sqrt{k \pi}^\sqrt{(k +1) \pi} \left| \sin \left( x^2 \right) \right| dx
\end{equation} とおく。次の不等式が成り立つことを示せ。
\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{(k +1) \pi}} \leqq A_k \leqq \frac{1}{\sqrt{k \pi}}
\end{equation}(2) 正の整数
に対し、
\begin{equation}
B_n = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_\sqrt{n \pi}^\sqrt{2n \pi} \left| \sin \left( x^2 \right) \right| dx
\end{equation} とおく。極限を求めよ。
小問(1)の解答例
\begin{equation}
x = \sqrt{t}
\end{equation}と置きます。
\begin{equation}
dx = \frac{dt}{2\sqrt{t}}
\end{equation}です。積分区間は
\begin{array}{|c|ccc|}
\hline
x & \sqrt{k \pi} & \to & \sqrt{(k +1) \pi} \\ \hline
t & k \pi & \to & (k +1) \pi \\ \hline
\end{array}と変換されます。
したがって、
\begin{equation}
A_k = \int_{k \pi}^{(k +1) \pi} \frac{|\sin t| \, dt}{2\sqrt{t}} \tag{1}
\end{equation}となります。
分母に着目すると、
\begin{equation}
\int_{k \pi}^{(k +1) \pi} \frac{|\sin t| \, dt}{2\sqrt{(k +1) \, \pi}} \leqq \int_{k \pi}^{(k +1) \pi} \frac{|\sin t| \, dt}{2\sqrt{t}} \leqq \int_{k \pi}^{(k +1) \pi} \frac{|\sin t| \, dt}{2\sqrt{k \pi}} \tag{2}
\end{equation}が成り立つことが分かります。
また、
\begin{eqnarray}
\int_{k \pi}^{(k +1) \pi} |\sin t| \, dt &=& \biggl[ -|\cos t| \biggr]_{k \pi}^{(k +1) \pi} \\
&=& 2 \tag{3}
\end{eqnarray}です。
式(1)～(3)より、
\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{(k +1) \pi}} \leqq A_k \leqq \frac{1}{\sqrt{k \pi}}
\end{equation}を得ます。(証明終わり)
小問(2)の解答例
の定義により、
\begin{equation}
\sqrt{n} \, B_n = A_n +A_{n +1} +\cdots +A_{2n -1}
\end{equation}が成り立ちます。
小問(1)の結果により、
\begin{eqnarray}
\frac{1}{\sqrt{(n +1) \pi}} \leqq & A_n & \leqq \frac{1}{\sqrt{n \pi}} \\
\frac{1}{\sqrt{(n +2) \pi}} \leqq & A_{n +1} & \leqq \frac{1}{\sqrt{(n +1) \pi}} \\
& \vdots & \\
\frac{1}{\sqrt{2n \pi}} \leqq & A_{2n -1} & \leqq \frac{1}{\sqrt{(2n -1) \pi}}
\end{eqnarray}です。
辺々相加えて、
\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{(n +1) \pi}} +\cdots +\frac{1}{\sqrt{2n \pi}} \leqq \sqrt{n} \, B_n \leqq \frac{1}{\sqrt{n \pi}} +\cdots +\frac{1}{\sqrt{(2n -1) \pi}} \tag{4}
\end{equation}となります。
式(4)の左辺は
\begin{eqnarray}
\frac{1}{\sqrt{(n +1) \pi}} +\cdots +\frac{1}{\sqrt{2n \pi}} &>& \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_n^{2n} \frac{dx}{\sqrt{x}} \\
&=& \frac{2}{\sqrt{\pi}} \biggl[ \sqrt{x} \biggr]_n^{2n} \\
&=& \frac{2}{\sqrt{\pi}} \left( \sqrt{2n} -\sqrt{n} \right) \tag{5}
\end{eqnarray}右辺は
\begin{eqnarray}
\frac{1}{\sqrt{n \pi}} +\cdots +\frac{1}{\sqrt{(2n -1) \pi}} &<& \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_n^{2n} \frac{dx}{\sqrt{x -1}} \\
&=& \frac{2}{\sqrt{\pi}} \biggl[ \sqrt{x -1} \biggr]_n^{2n} \\
&=& \frac{2}{\sqrt{\pi}} \left( \sqrt{2n -1} -\sqrt{n -1} \right) \tag{6}
\end{eqnarray}となります。
式(5), (6)により、式(4)は
\begin{equation}
\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left( \sqrt{2n} -\sqrt{n} \right) < \sqrt{n} \, B_n < \frac{2}{\sqrt{\pi}} \, \left( \sqrt{2n -1} -\sqrt{n -1} \right)
\end{equation}となります。各辺をで割り、
\begin{equation}
\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left( \sqrt{2} -1 \right) < B_n < \frac{2}{\sqrt{\pi}} \left( \sqrt{2 -\frac{1}{n}} -\sqrt{1 -\frac{1}{n}} \right) \tag{7}
\end{equation}を得ます。
ここで、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{\pi}} \left( \sqrt{2 -\frac{1}{n}} -\sqrt{1 -\frac{1}{n}} \right) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \left( \sqrt{2} -1 \right)
\end{equation}なので、式(7)により
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} B_n = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \left( \sqrt{2} -1 \right)
\end{equation}となります。
関数の極限 はさみうちの原理 - 数式で独楽する
