2023年東大理科第6問その2 - 数式で独楽する

Oを原点とする座標空間において、不等式 $|x| \leqq 1, \ |y| \leqq 1, \ |z| \leqq 1$ の表す立方体を考える。その立方体の表面のうち、 $z < 1$ を満たす部分を $S$ とする。
以下、座標空間内の2点A, Bが一致するとき、線分ABは点Aを表すものとし、その長さを0と定める。
(1) 2023年東大理科第6問その1 - 数式で独楽する
(2) 座標空間内の点Nと点Pが次の条件(iii), (iv), (v)をともに満たすとき、点Pの動きうる範囲 $W$ の体積を求めよ。必要ならば $\displaystyle \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$ を満たす実数 $\alpha \ \displaystyle \left( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \right)$ を用いてよい。
(iii) $\mathrm{ON+NP} \leqq \sqrt{3}$
(iv) 線分ONと $S$ は共有点を持たない。
(v) 線分NPと $S$ は、共有点を持たないか、点Pのみを共有点に持つ。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
解説

小問(1)の解答例

2023年東大理科第6問その1 - 数式で独楽する

小問(2)の解答例

3点O, N, Pが同一直線上にある場合、小問(1)と同じです。

3点O, N, Pが同一直線上にない場合を考えます。
$z = 1$ 以外の5面については、点Pは面から立方体の外に出ることはありません。

$z = 1$ の面を折れ線ONPが通過する状況を考えます。
折れ線ONPが $z$ 軸に近付く方向に曲がる場合、点Pは小問(1)の範囲の外に出ることはありません。

折れ線ONPが $z$ 軸から遠ざかる方向に曲がる場合、点Nを $z = 1$ の面の辺上(領域 $S$ には含まれません)に置いたとき、点Pは小問(1)の範囲をはみ出すことになります。

ここで $x = t$ における断面を考えると、 $y > 0$ の部分において新たに増える点Pの動きうる範囲は、半径 $\sqrt{3 -t^2} -\sqrt{2}$ 、中心角 $3\pi/4$ の扇形となります。
その面積 $T$ は、
\begin{eqnarray}
T &=& \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \, \pi \left( \sqrt{3 -t^2 } -\sqrt{2} \right)^2 \\
&=& \frac{3}{8} \, \pi \left( 3 -t^2 +2\sqrt{2} \sqrt{3 -t^2} +2 \right) \\
&=& \frac{3}{8} \, \pi \left( 5 -t^2 +2\sqrt{2} \sqrt{3 -t^2} \right)
\end{eqnarray}です。

平面 $x = 0, \ y = 0$ における対称性を考慮すると、新たに増える体積は、
\begin{eqnarray}
W -V &=& 4 \times 2\int_0^1 T \, dt \\
&=& 3\pi \int_0^1 \left( 5 -t^2 +2\sqrt{2} \sqrt{3 -t^2} \right) dt \tag{1}
\end{eqnarray}となります。

積分の中身を計算します。
\begin{eqnarray}
\int_0^1 (5 -t^2) \, dt &=& \left[ 5t^2 -\frac{t^3}{3} \right]_0^1 \\
&=& \frac{14}{3} \tag{2}
\end{eqnarray}です。

次に\begin{equation}
I = \int_0^1 \sqrt{3 -t^2} \, dt \tag{3}
\end{equation}について考えます。
\begin{equation}
t = \sqrt{3} \sin \theta
\end{equation}と置きます。
\begin{eqnarray}
dt &=& \sqrt{3} \cos \theta \, d\theta \\
\sqrt{3 -t^2} &=& \sqrt{3(1 -\sin^2 \theta)} \\
&=& \sqrt{3} \cos \theta
\end{eqnarray}となります。
積分区間は
\begin{array}{|c|ccc|}
\hline
t & 0 & \to & 1 \\ \hline
\theta & 0 & \to & \alpha \\ \hline
\end{array}となります。なお、
\begin{equation}
\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}
\end{equation}です。
式(3)は、
\begin{eqnarray}
I &=& \int_0^\alpha 3\cos^2 \theta \, d\theta \\
&=& \frac{3}{2} \int_0^\alpha (\cos 2\theta +1) \, d\theta \\
&=& \frac{3}{2} \left[ \frac{1}{2} \, \sin 2\theta +\theta \right]_0^\alpha \\
&=& \frac{3}{4} \, \sin 2\alpha +\frac{3}{2}\, \alpha \tag{4}
\end{eqnarray}となります。
定積分の置換積分 - 数式で独楽する
 逆三角関数の定積分表現 - 数式で独楽する
なお、
\begin{eqnarray}
\sin 2\alpha &=& 2\sin \alpha \, \cos \alpha \\
&=& 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{1 -\frac{1}{3}} \\
&=& \frac{2\sqrt{2}}{3} \tag{5}
\end{eqnarray}です。
倍角の公式 - 数式で独楽する

式(4), (5)より
\begin{equation}
I = \frac{3}{2} \,\alpha +\frac{\sqrt{2}}{2} \tag{6}
\end{equation}となります。

式(1), (2), (6)をまとめ、新たに増える体積
\begin{eqnarray}
W -V &=& 3\pi \left \{ \frac{14}{3} -2\sqrt{2} \left( \frac{3}{2} \, \alpha +\frac{\sqrt{2}}{2} \right) \right \} \\
&=& \left( 8 -9\sqrt{2} \, \alpha \right) \, \pi
\end{eqnarray}を得ます。

よって、求める体積は、
\begin{eqnarray}
W &=& \frac{20 +2\sqrt{3} \, \pi}{3} +\left( 8 -9\sqrt{2} \, \alpha \right) \, \pi
\\
&=& \frac{20}{3} +\left( \frac{2\sqrt{3}}{3} +8 -9\sqrt{2} \, \alpha \right) \, \pi
\end{eqnarray}となります。

解説

小問(1)の範囲からどれだけはみ出ることになりますが、イメージが難しいです。断面を評価して積分することになります。難問です。