2項間漸化式 - 数式で独楽する

漸化式
\begin{equation}
a_{n+1}=p a_n+q
\end{equation}を満たす数列 $\{ a_n \}$ の一般項について見ていきます。

数列中の2項で式ができているので2項間漸化式といいます。
なお、 $p, q$ は定数、初項は $a_1$ とします。
一般項は、これらと $n$ で表すことができるのです。

$p=0$ の場合

この場合、
\begin{equation}
a_n=q
\end{equation}です。

$q=0$ の場合

漸化式は、
\begin{equation}
a_{n+1}=p a_n
\end{equation}となります。
これは、 $\{ a_n \}$ が公比 $p$ の等比数列であることを示しています。
したがって、一般項は
\begin{equation}
a_n=a_1 p^{n-1}
\end{equation}です。

$p=1$ の場合

漸化式は、
\begin{equation}
a_{n+1}=a_n+q
\end{equation}となります。
これは、 $\{ a_n \}$ が公差 $q$ の等差数列であることを示しています。
したがって、一般項は
\begin{equation}
a_n=a_1+(n-1)q
\end{equation}です。

$p \neq 1$ の場合

唐突ですが、
\begin{equation}
q = \frac{1-p}{1-p} \, q = \left( \frac{1}{1-p}-\frac{p}{1-p} \right) \, q
\end{equation}です。
これを用いて、漸化式
\begin{equation}
a_{n+1}=p a_n+q
\end{equation}を変形していきます。

\begin{eqnarray}
a_{n+1} &=& p a_n + \left( \frac{1}{1-p}-\frac{p}{1-p} \right) \, q \\
a_{n+1} - \frac{1}{1-p} \, q &=& p a_n - \frac{p}{1-p} \, q \\
a_{n+1} - \frac{q}{1-p} &=& p \left( a_n - \frac{q}{1-p} \right)
\end{eqnarray}
なお、1次方程式
\begin{equation}
x=px+q
\end{equation}の解が
\begin{equation}
x=\frac{q}{1-p}
\end{equation}です。

変形を続けます。
\begin{eqnarray}
a_{n+1} - \frac{q}{1-p} &=& p \left( a_n - \frac{q}{1-p} \right) \\
&=& p^2 \left( a_{n-1} - \frac{q}{1-p} \right) \\
& \vdots & \\
&=& p^n \left( a_1 - \frac{q}{1-p} \right)
\end{eqnarray}
したがって、
\begin{equation}
a_n - \frac{q}{1-p} = p^{n-1} \left( a_1 - \frac{q}{1-p} \right)
\end{equation}となります。
ちなみに、数列 $\left \{ a_n - \displaystyle \frac{q}{1-p} \right \}$ は公比 $p$ の等比数列です。

よって、一般項は
\begin{equation}
a_n = p^{n-1} \left( a_1 - \frac{q}{1-p} \right) + \frac{q}{1-p}
\end{equation}となります。
少し変形すると、
\begin{equation}
a_n = a_1 p^{n-1} + \frac{q(1-p^{n-1})}{1-p}
\end{equation}となります。